EXERCICE 3restart:Question a)imageL:=proc(u) local i,s,l; s:=NULL; for i from 1 to 5 do s:=s,evalf(u(i)); od; l:=[s]; end: Cette proc\351dure renvoie la liste des cinq valeurs [u(1),u(2),u(3),u(4),u(5)] d'une permutation uQuestion b)r:=array(0..5);R:=array(0..5);s:=array(1..5);S:=array(1..5); On alloue l'espace destin\351 aux 4 tableaux s,S,r,R

NiM+SSJyRzYiLUkmYXJyYXlHSSpwcm90ZWN0ZWRHRig2JDsiIiEiIiY3Ig==NiM+SSJSRzYiLUkmYXJyYXlHSSpwcm90ZWN0ZWRHRig2JDsiIiEiIiY3Ig==NiM+SSJzRzYiLUkmYXJyYXlHSSpwcm90ZWN0ZWRHRig2JDsiIiIiIiY3Ig==NiM+SSJTRzYiLUkmYXJyYXlHSSpwcm90ZWN0ZWRHRig2JDsiIiIiIiY3Ig==

Question c)On cr\351e les permutations r1 et s1r[1]:=x->piecewise(x=1,2,x=2,3,x=3,4,x=4,5,x=5,1);

NiM+Jkkickc2IjYjIiIiZio2I0kieEdGJkYmNiRJKW9wZXJhdG9yR0YmSSZhcnJvd0dGJkYmLUkqcGllY2V3aXNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YxNiwvOSRGKCIiIy9GNEY1IiIkL0Y0RjciIiUvRjRGOSIiJi9GNEY7RihGJkYmRiY=

s[1]:=x->piecewise(x=1,1,x=2,5,x=3,4,x=4,3,x=5,2);

NiM+Jkkic0c2IjYjIiIiZio2I0kieEdGJkYmNiRJKW9wZXJhdG9yR0YmSSZhcnJvd0dGJkYmLUkqcGllY2V3aXNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YxNiwvOSRGKEYoL0Y0IiIjIiImL0Y0IiIkIiIlL0Y0RjpGOS9GNEY3RjZGJkYmRiY=

Question d)On cr\351e les permutations rk, obtenue par compositions successives de r1 avec elle-m\352me for k from 2 to 5 do r[k]:=(r[1])@(r[k-1]) od;

NiM+Jkkickc2IjYjIiIjLUkjQEBHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGLEkoX3N5c2xpYkdGJjYkJkYlNiMiIiJGKA==NiM+Jkkickc2IjYjIiIkLUkjQEBHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGLEkoX3N5c2xpYkdGJjYkJkYlNiMiIiJGKA==NiM+Jkkickc2IjYjIiIlLUkjQEBHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGLEkoX3N5c2xpYkdGJjYkJkYlNiMiIiJGKA==NiM+Jkkickc2IjYjIiImLUkjQEBHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGLEkoX3N5c2xpYkdGJjYkJkYlNiMiIiJGKA==

r[0]:=r[5]: On affecte r5 \340 r0Question e)On d\351fnit les permutations sk composition de s1 avec r(k-1)for k from 2 to 5 do s[k]:=s[1]@r[k-1] od;

NiM+Jkkic0c2IjYjIiIjLUkiQEc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YsSShfc3lzbGliR0YmNiQmRiU2IyIiIiZJInJHRiZGMA==NiM+Jkkic0c2IjYjIiIkLUkiQEc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YsSShfc3lzbGliR0YmNiQmRiU2IyIiIi1JI0BAR0YrNiQmSSJyR0YmRjAiIiM=NiM+Jkkic0c2IjYjIiIlLUkiQEc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YsSShfc3lzbGliR0YmNiQmRiU2IyIiIi1JI0BAR0YrNiQmSSJyR0YmRjAiIiQ=NiM+Jkkic0c2IjYjIiImLUkiQEc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YsSShfc3lzbGliR0YmNiQmRiU2IyIiIi1JI0BAR0YrNiQmSSJyR0YmRjAiIiU=

Question f)On defiunit les listes images Rk et Sk associ\351es aux permutations rk et sk respectivementfor i from 1 to 5 do R[i-1]:=imageL(r[i-1]);S[i]:=imageL(s[i]); od;

NiM+JkkiUkc2IjYjIiIhNyckIiIiRigkIiIjRigkIiIkRigkIiIlRigkIiImRig=NiM+JkkiU0c2IjYjIiIiNyckRigiIiEkIiImRiskIiIlRiskIiIkRiskIiIjRis=NiM+JkkiUkc2IjYjIiIiNyckIiIjIiIhJCIiJEYsJCIiJUYsJCIiJkYsJEYoRiw=NiM+JkkiU0c2IjYjIiIjNyckIiImIiIhJCIiJUYsJCIiJEYsJEYoRiwkIiIiRiw=NiM+JkkiUkc2IjYjIiIjNyckIiIkIiIhJCIiJUYsJCIiJkYsJCIiIkYsJEYoRiw=NiM+JkkiU0c2IjYjIiIkNyckIiIlIiIhJEYoRiwkIiIjRiwkIiIiRiwkIiImRiw=NiM+JkkiUkc2IjYjIiIkNyckIiIlIiIhJCIiJkYsJCIiIkYsJCIiI0YsJEYoRiw=NiM+JkkiU0c2IjYjIiIlNyckIiIkIiIhJCIiI0YsJCIiIkYsJCIiJkYsJEYoRiw=NiM+JkkiUkc2IjYjIiIlNyckIiImIiIhJCIiIkYsJCIiI0YsJCIiJEYsJEYoRiw=NiM+JkkiU0c2IjYjIiImNyckIiIjIiIhJCIiIkYsJEYoRiwkIiIlRiwkIiIkRiw=

On d\351fnit la liste des \351l\351ments de G: [r0,r1,..,r4,s1,..,s5]G:=[seq(r[k],k=0..4),seq(s[k],k=1..5)];

NiM+SSJHRzYiNywtSSNAQEc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YqSShfc3lzbGliR0YlNiQmSSJyR0YlNiMiIiIiIiZGLS1GKDYkRi0iIiMtRig2JEYtIiIkLUYoNiRGLSIiJSZJInNHRiVGLy1JIkBHRik2JEY7Ri0tRj42JEY7RjItRj42JEY7RjUtRj42JEY7Rjg=

Question g)Nom:=proc(u) local i,sol,N; sol:=XX;N:=imageL(u); for i from 1 to 5 do if evalb(R[i-1]=N) then sol:=evaln(r[i-1]); fi; if evalb(S[i]=N) then sol:=evaln(s[i]); fi; od; sol; end:Cette proc\351dure renvoie le nom (r0,r,1...,s1,..s4 ou s5) de la permutation donn\351e en argument

Question h)GC:=array(1..10,1..10); On alloue l'espace pour le tableau GC qui contiendra la table de composition de G

NiM+SSNHQ0c2Ii1JJmFycmF5R0kqcHJvdGVjdGVkR0YoNiU7IiIiIiM1Rio3Ig==

for i from 1 to 10 do for j from 1 to 10 do GC[i,j]:=G[i]@G[j]; od;od;eval(GC);

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

Tab:=map(Nom,GC); Tab contient le nom de chaque \351l\351ment de la table de composition

NiM+SSRUYWJHNiItSSdtYXRyaXhHRiU2IzcsNywmSSJyR0YlNiMiIiEmRiw2IyIiIiZGLDYjIiIjJkYsNiMiIiQmRiw2IyIiJSZJInNHRiVGMCZGPEYzJkY8RjYmRjxGOSZGPDYjIiImNyxGL0YyRjVGOEYrRkBGO0Y9Rj5GPzcsRjJGNUY4RitGL0Y/RkBGO0Y9Rj43LEY1RjhGK0YvRjJGPkY/RkBGO0Y9NyxGOEYrRi9GMkY1Rj1GPkY/RkBGOzcsRjtGPUY+Rj9GQEYrRi9GMkY1Rjg3LEY9Rj5GP0ZARjtGOEYrRi9GMkY1NyxGPkY/RkBGO0Y9RjVGOEYrRi9GMjcsRj9GQEY7Rj1GPkYyRjVGOEYrRi83LEZARjtGPUY+Rj9GL0YyRjVGOEYr

Tous les \351l\350ments de la table sont dans G, donc G est stable par compositionla colonne r0 laisse invariant les \351l\351ments parcourus, c'est donc un \351l\351ment neutre \340 droite la ligne r0 laisse invariant les \351l\351ments parcourus, c'est donc un \351l\351ment neutre \340 droite Conclusion: r0 est l'\351l\351ment neutre de G (en fait r0 est l'identit\351) toute ligne contient l'\351l\351ment neutre r0, donc tout \351l\351ment de G admet un sym\351trique \340 droite (voir colonne correspondante) toute ligne contient l'\351l\351ment neutre r0, donc tout \351l\351ment de G admet un sym\351trique \340 gauche (voir ligne correspondante) Conclusion G est stable par passage au sym\351trique G est donc un sous-groupe du groupe des permutationsV\351rifions la commutativit\351, c'est \340 dire si la table de composition est sym\351trique par rapport \340 sa diagonalerep:=true: #Commutativit\351? for i from 1 to 10 do for j from i to 10 do if evalb(Tab[i,j]<>Tab[j,i]) then rep:=false,i,j; fi; od: od: rep;

NiVJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YkIiIqIiM1

G n'est pas ab\351lien, en effet l'element (10,9) est distinct de (9,10)Question i)cette proc\351dure toute les compos\351es de u avec les \351l\351ments de G jusqu'\340 trouver l'\351l\351ment neutre r0inverse:=proc(u) local i,F; i:=1:F:=G[i]@u; while evalb(evaln(r[0])<>Nom(F)) do i:=i+1;F:=G[i]@u; od; Nom(G[i]); end:inverse(r[1]);

NiMmSSJyRzYiNiMiIiU=

Question j)pour r\351soudre ux=v il suffit de prendre x=symetrique(u)ovresoudre:=proc(u,v) local sol; sol:=inverse(u)@v; Nom(sol); end:resoudre(r[1],s[2]);

NiMmSSJzRzYiNiMiIiQ=