>	restart:r:=1/(1+e*cos(theta));De:=[1/e,t,t=-infinity..infinity]:Ce:=[r,theta,theta=-2*Pi..2*Pi]: Equation polaire de la conique

>

Exercice 1: ici e=2

>

>	e:=2;plot(subs(e=2,Ce),-1..2,-2..2,coords=polar);

>

>

Exercice 3 a: ici e est quelconque

>

e:='e':

>	with(linalg):

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>	u:=vector([cos(theta),sin(theta)]);v:=vector([-sin(theta),cos(theta)]); voici les vecteurs de base du repère polaire (coordonnées dans le repere (F,i,j)

>

>	f:=scalarmul(u,r); voici la représentation paramétrique de la conique (le vecteur r*u(theta)

>	fp:=map(diff,f,theta); voici le vecteur vitesse

>	fp:=simplify(fp);

>	t:=matadd(u,v,e*sin(theta),1+e*cos(theta)):vecteur t(theta) exprimé dans le repère (F,i,j) (matadd calcul la combinaison linéaire)

>	t:=simplify(t);

>	Determinant:=det(matrix([fp,t])); On verifie bien que t et le vecteur vitesse sont colinéaires

>

>

>

>

>	Exercice 3 b

>	X:='X':Y:='Y':Ppol:=vector([X,Y]); On pose X,Y les coordonées de P dans la base R(theta);

>	tpol:=vector([e*sin(theta),1+e*cos(theta)]); Il s'agit la des coordonnées de t dans le repère R(theta)

>	eq_1:=dotprod(Ppol,tpol,orthogonal)=0; Cette équation exprime le fait que t et FP sont orthogonaux (donc de produit scalaire nul)

>	MPpol:=matadd(Ppol,[r,0],1,-1); vecteur MP en coordonnées polaires

>	eq_2:=det(matrix([MPpol,tpol]))=0; Cette équation exprime le fait que P appartient à la tangente et donc MP est colinéaire à t.

>	Sol:=simplify(solve({eq_1,eq_2},{X,Y})); On résout le système de ces deux équations

>	X:=subs(Sol,X);Y:=subs(Sol,Y); D'où les coordonnées X.Y du projeté orthogonal

>

>	Exercice 4

D'où les coordonnées de P dans le repère (F,i,j)

>	P:=matadd(u,v,Ppol[1],Ppol[2]):

>	P:=simplify(P);

>	x:=P[1]:y:=P[2]:

>

>	Exercice 5 ici e=1

>

e:=1:

>	x1:=simplify(x);y1:=simplify(y); d'où l'équation paramétrée en x1,y1

>

>	x1:=subs(theta=2*t,x1);y1:=subs(theta=2*t,y1); D'où en paramétrant  par l'arc-moitié theta=2t

>	y1 := 1/2*sin(2*t)/(cos(2*t)+1):

>	y1:=expand(y1); Ce qui se simplifie pour y1

>	On voit donc que y parcourt tous les réels lorsque theta (i.e 2t) parcourt l'ensmble des réels

il s'agit donc de la droite d'équation x=1/2

>	D1:=plot(subs(e=1,De),color=red): Directrice (en rouge)

>	C1:=plot(subs(e=1,Ce),-1..1,-2..2,coords=polar,color=blue): conique (en bleu)

>	Gamma1:=plot([1/2,t,t=-infinity..infinity],color=black): Gamma1  en noir

>	with(plots):

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>	display(D1,C1,Gamma1);

>

>	Exercice 6 ici e=1/2

>	e:=1/2:'r'=r;

>	A:=simplify(subs(theta=0,[r*cos(theta),r*sin(theta)]));Ap:=simplify(subs(theta=Pi,[r*cos(theta),r*sin(theta)])); A et A' sont les points de paramètres 0 et Pi

>	Oo:=matadd(vector(A),vector(Ap),1/2,1/2); O est le milieu de [AA']

Comme A et A' appartiennent à Gamma1/2 (En effet les tangentes y sont perpendiculaires à l'axe focal)  son centre appartient à la médiatrice x=-2/3

Par ailleurs cette ellipse étant symétrique par rapport à l'axe focal: (l'axe des s abscisses) il en va de même pour le cercle Gama1/2

son centre est donc sur l'axe des abscisses

D'où ses coordonnées (-2/3,0)

>	('x'+2/3)^2+'y'^2=simplify((x+2/3)^2+y^2); On trouve en remplacant x et y par son expression

Il s'agit bien d'un cercle dont le rayon est 4/3

>	D2:=plot(subs(e=1/2,De),color=red): Directrice (en rouge)

>	C2:=plot(subs(e=1/2,Ce),-2..2,-2..2,coords=polar,color=blue): conique (en bleu)

>	Gamma2:=plot([x,y,theta=-2*Pi..2*Pi],color=black): Gamma1/2 en noir

>	display(D2,C2,Gamma2);

>