>

restart;

>	x:=t->t^3/(3*(abs(t)-2));y:=t->t^2/2-3*abs(t);

Réduction du domaine d'étude

>	[x(-t),y(-t)]=[-x(t),y(t)];

>

evalb(%);

On en déduit la réduction du domaine d'étude aux paramètres positifs, le reste du support s'obtient par symétrie / à (Oy)

>

>

Vecteur vitesse

>	assume(t>=0);

>	"x'(t)"=factor(D(x)(t));"y'(t)"=factor(D(y)(t));

>

>

>

Au point stationnaire M(3) on a une tangente de pente 1/6

>	ta:=factor((y(t)-y(3))/(x(t)-x(3))):('y'(t)-'y'(3))/('x'(t)-'x'(3))=ta;Limit(('y'(t)-'y'(3))/('x'(t)-'x'(3)),t=3)=limit(ta,t=3);

Au point M(0) on  a une tangente verticale

>	ta:=factor((y(t)-y(0))/(x(t)-x(0))):('y'(t)-'y'(0))/('x'(t)-'x'(0))=ta;Limit(abs(('y'(t)-'y'(0))/('x'(t)-'x'(0))),t=0)=limit(abs(ta),t=0);

Quelques valeurs caractéristiques

>	t_0:=-3: M(t_0)=(x(t_0),y(t_0));

>	t_0:=0: M(t_0)=(x(t_0),y(t_0));

>	t_0:=3: M(t_0)=(x(t_0),y(t_0));

>

>

Tableau de variation

>

>	plot([xp,yp],thickness=[3,3],color=[green,red]);

En vert le signe de x'(t)

En rouge le signe de y'(t)

>

>

Branches infinies

Etude en 2

>	Limit('x'(t),t=2,right)=limit(x(t),t=2,right);

>	Limit('x'(t),t=2,left)=limit(x(t),t=2,left);

>	Limit('y'(t),t=2)=limit(y(t),t=2);

D'où une asymptote horizontale d'équation y=-4

>

La position relative étant donné par le signe de la différence de

>	delta:=factor(y(t)+4);

>	pos:=H(delta):plot(pos,t=1..3,thickness=2);

D'où la courbe est au dessus pour t<2 et en dessous pour t>2

>

Etude en +inifinity

>

>	Limit('x'(t),t=infinity)=limit(x(t),t=infinity);

>	Limit('y'(t),t=infinity)=limit(y(t),t=infinity);

D'où une branche infinie lorsque  t->+infini

>

>	'y'(t)/'x'(t)=factor(y(t)/x(t));

>	Limit('y'(t)/'x'(t),t=infinity)=limit(y(t)/x(t),t=infinity);

>

D'où une direction asymptotique d'équation y=3/2

>	'y'(t)-3*'x'(t)/2 =factor(y(t)-3*x(t)/2);

>	Limit('y'(t)-3*'x'(t)/2,t=infinity)=limit(y(t)-3*x(t)/2,t=infinity);

Il s'agit donc d'une branche parabolique de direction y=3/2

>

>

>

Support de la courbe

>	display(support_plus, support_moins,asymptote_plus,asymptote_moins,asymptote_horizontale,tangente_plus,tangente_moins);

En pointillés le support et les droites caractéristiques associés aux paramètres positifs

En trait plein le support et les droites caractéristiques associées aux paramètres négatifs

En rouge le support des paramètres négatifs

En bleu le support des paramètres positifs

En vert les directions asymtotiques pour t->infini

En noir les tangentes en M(3) et M(-3)

En magenta l'asymptote horizontale pour t->2 et t->-2

>