Kh04.mw

> restart:

trajectoire elliptique

> r:=theta->p/(1-e*cos(theta-theta0));

r := proc (theta) options operator, arrow; p/(1-e*cos(theta-theta0)) end proc

>

Exercice 1

Calcul de e^2 et cos^2(theta0) en fonction de p,R et du demi grand axe a

>

> ra:=r(theta0); apogée

ra := p/(1-e)

> rp:=r(theta0+Pi); périgée

rp := p/(1+e)

> eq_a:=2*a=rp+ra; Equation du demi-grand axe

eq_a := 2*a = p/(1+e)+p/(1-e)

> eq_R:=R=r(0); Condition initiale du tir

>

eq_R := R = p/(1-e*cos(theta0))

On resout le systeme composée des deux égalités précendentes pour les inconnues e et cos(theta0)

> sol:=solve({eq_a,eq_R},{e,cos(theta0)});

sol := {e = RootOf(-a+a*_Z^2+p, label = _L1), cos(theta0) = -(-R+p)/(R*RootOf(-a+a*_Z^2+p, label = _L1))}

> sol:=allvalues(sol);on explicite l'expression de e à l'aide de la fonction allvalues

sol := {e = (-(-a+p)/a)^(1/2), cos(theta0) = -(-R+p)/(R*(-(-a+p)/a)^(1/2))}, {e = -(-(-a+p)/a)^(1/2), cos(theta0) = (-R+p)/(R*(-(-a+p)/a)^(1/2))}

> sol_part:=[op(sol[1])];on ne garde que que la solution vérifiant e>0

sol_part := [e = (-(-a+p)/a)^(1/2), cos(theta0) = -(-R+p)/(R*(-(-a+p)/a)^(1/2))]

> edeux:=subs(sol_part,e)^2;on calcule e^2

edeux := -(-a+p)/a

> costheta0deux:=subs(sol_part,cos(theta0))^2;on calcule cos(theta0)^2

costheta0deux := -(-R+p)^2*a/(R^2*(-a+p))

>

Exercice 2

>

Constante de la loi des aires: conservation du moment cinétique

> C:=R*v0*sin(alpha);

C := R*v0*sin(alpha)

Expression de p en fonction des conditions initiales

> p:=C*C/(G*M);

p := R^2*v0^2*sin(alpha)^2/(G*M)

> p:=subs(G=vc*vc*R/M,p); injectons dans p l'expression de G

p := R*v0^2*sin(alpha)^2/vc^2

> p:=subs(v0=T*vc,p); injectons dans p l'expression de v0=T*vc

p := R*T^2*sin(alpha)^2

>

> Exercice 3

>

Expression de la conservation de l'énergie mécanique

> eq_E:=(1/2)*m*v0*v0-G*M*m/R=-G*M*m/(2*a);

eq_E := 1/2*m*v0^2-G*M*m/R = -1/2*G*M*m/a

> a:=solve(eq_E,a); expression de a

a := -G*M*R/(v0^2*R-2*G*M)

> a:=subs(G=vc*vc*R/M,a); injectons dans a l'expression de G

a := -vc^2*R^2/(v0^2*R-2*vc^2*R)

> a:=subs(v0=T*vc,a); injectons dans a l'expression de v0

a := -vc^2*R^2/(T^2*vc^2*R-2*vc^2*R)

> a:=simplify(a); on simplifie l'expression

a := -R/(T^2-2)

> Exercice 4

>

Etude de la portée

> costheta0deux;costheta0deux:=subs(sin(alpha)^2=1-cos(alpha)^2,costheta0deux); expression de cos(theta0)^2 en fonction de cos(alpha)^2

(-R+R*T^2*sin(alpha)^2)^2/(R*(R/(T^2-2)+R*T^2*sin(alpha)^2)*(T^2-2))

costheta0deux := (-R+R*T^2*(1-cos(alpha)^2))^2/(R*(R/(T^2-2)+R*T^2*(1-cos(alpha)^2))*(T^2-2))

Calcul des extrema

> ct2:=subs(cos(alpha)^2=x,costheta0deux);expression de cos(theta0)^2 en fonction de x=cos(alpha)^2

ct2 := (-R+R*T^2*(1-x))^2/(R*(R/(T^2-2)+R*T^2*(1-x))*(T^2-2))

> deriv:=diff(ct2,x); dérivée par rapport à x

deriv := -2*(-R+R*T^2*(1-x))*T^2/((R/(T^2-2)+R*T^2*(1-x))*(T^2-2))+(-R+R*T^2*(1-x))^2*T^2/((R/(T^2-2)+R*T^2*(1-x))^2*(T^2-2))

> sol:=solve(deriv=0,x); recherche des valeurs critiques

sol := (-1+T^2)/T^2, (-1+T^2)/(T^2-2)

> cos_carre_alpha_optimum_1:=sol[1];cos_carre_alpha_optimum_2:=sol[2]; expression des valeurs optimales de cos(alpha)^2

cos_carre_alpha_optimum_1 := (-1+T^2)/T^2

cos_carre_alpha_optimum_2 := (-1+T^2)/(T^2-2)

Il s'agit bien d'un maximum de theta0 et donc un minimum de cos(theta0)^2 pour cos_carre_optimum_2 (seule valeur acceptable)

> delta:=factor(ct2-subs(x=cos_carre_alpha_optimum_2,ct2)); expression de la difference cos(theta0(x))^2-cos(theta0(xoptimum))^2

delta := -T^4*(-T^2+1+T^2*x-2*x)^2/((T^2-2)^2*(-1-T^4+2*T^2+T^4*x-2*T^2*x))

> assume(x>0 and x<1);assume(T>0 and T<1); is(delta>=0);cette différence est bien positive

true

>

>

> Exercice 5

>

Application Numérique

> R:=6400000;T:=0.99;'cos_carre_alpha_optimum_2'=cos_carre_alpha_optimum_2;

R := 6400000

T := .99

cos_carre_alpha_optimum_2 = 0.196e-1

> Digits:=3:alpha:=arccos(sqrt(cos_carre_alpha_optimum_2));theta0:=arccos(sqrt(costheta0deux));

alpha := 1.43

theta0 := 1.28

> 'p'=p;e:=sqrt(edeux);'r(theta)'=r(theta);

p = 0.614e7

e := .144

r(theta) = 0.614e7/(1-.144*cos(theta-1.28))

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> terre:=plot([R,theta,theta=0..2*Pi],coords=polar,scaling=constrained,color=blue,thickness=3):

> traj:=plot([r(theta),theta,theta=0..2*theta0],coords=polar,scaling=constrained,color=red,thickness=2):

> display(terre,traj);

[Plot]

> fleche=(ra-R)/1000; hauteur de la flècehe de la trajectoire relativement à la surface terrestre en km

fleche = 0.77e3