KM05_exo1.html

Exercice 1

> Question a)

> Méthode itérative

> iteration:=proc(a,b,n)
local s,an,bn,temp,k;
an:=a;bn:=b; initialisation des valeurs de la suite an et bn représentent ici a0 et bo
for k from 1 to n do
on utilise des variables temporaires atemp et btemp pour ne pas interferer dans le calcul du nouveau an et bn en fonction des anciens
temp:=sqrt(an*bn);bn:=(an+bn)/2;
an:=temp; les anciennes valeurs de an et bn deviennent ici les nouvelles
od:
[an,bn];
end:

> iteration(0.5,1,25); Calcul de [a(25),b(25)] pour a0=0.5 et b0=1

> Méthode récursive

> iteration:=proc(a,b,n) option remember;
local s,u;
if n=0 then s:=[a,b] la recursion doit pouvoir s'arrêter pour donner une valeur effective ici [a0,b0]
else
u:=iteration(a,b,n-1); on fait appel à notre propre procédure pour connaitre les valeurs a(n-1) et b(n-1)
s:=[sqrt(u[1]*u[2]),(u[1]+u[2])/2]; on en déduit an et bn
fi:
s;
end:

> iteration(0.5,1,25); Calcul de [a(25),b(25)] pour a0=0.5 et b0=1

Question b

> Calcul d'une limite approchée

Méthode naive

> limite:=proc(a,b,epsilon)
local an,bn,u,n;
an:=a;bn:=b;n:=0;
while is(abs(an-bn)>epsilon) do tant que la distance séparant an, bn (suites adjacentes) dépasse epsilon, le calcul continue
n:=n+1:u:=iteration(a,b,n);an:=u[1];bn:=u[2];
od;
['an'=an,'n'=n];
end:

> limite(0.5,3,1/1000000); limite approchée à 10^(-6) près avec a0=0.5 et b0=3

Méthode itérative

> limite:=proc(a,b,epsilon)
local s,an,bn,temp,n;
an:=a;bn:=b;
n:=0;
while is(abs(an-bn)>epsilon) do
n:=n+1:temp:=sqrt(an*bn);bn:=(an+bn)/2;
an:=temp;
od:
['an'=an,'n'=n];
end:

> limite(0.5,3,1/1000000); limite approchée à 10^(-6) près avec a0=0.5 et b0=3

> Méthode récursive

> limite:=proc(a,b,epsilon) option remember;
local s,u;
if is(abs(a-b)<=epsilon) then s:=[a,b,0]; la recursion doit pouvoir s'arrêter pour donner une valeur effective ici [a0,b0]
else
s:=limite(sqrt(a*b),(a+b)/2,epsilon); on en déduit an et bn
s:=[s[1],s[2],s[3]+1];
fi:
s;
end:

> limite(0.5,3,1/1000000); limite approchée à 10^(-6) près avec a0=0.5 et b0=3

> Question c

Méthode naïve

> erreur:=proc(a,b,n)
local souvenir,i,un;
souvenir:=b-a;
for i from 1 to n do
un:=iteration(a,b,i);souvenir:=souvenir,un[2]-un[1];
od;
[sol];
end:

> evalf(erreur(1,3,5));

> Méthode itérative

> erreur:=proc(a,b,n)
local s,an,bn,temp,k,souvenir;
an:=a;bn:=b;
souvenir:=bn-an;
for k from 1 to n do
temp:=sqrt(an*bn);bn:=(an+bn)/2;
an:=temp;
souvenir:=souvenir,bn-an;
od:
[souvenir];
end:

> evalf(erreur(1,3,5));

> Méthode récursive

> val_suite:=proc(a,b,n)
option remember;
local s,u;
if n=0 then s:= [[a,b]] la recursion doit pouvoir s'arrêter pour donner une valeur effective ici [a0,b0]
else
u:=val_suite(a,b,n-1); on fait appel à notre propre procédure pour connaitre les valeurs a(n-1) et b(n-1)
s:=[op(u),[sqrt(u[n][1]*u[n][2]),(u[n][1]+u[n][2])/2]]; on en déduit an et bn
fi:
s;
end:

> val_suite(a,b,2);

> erreur:=proc(a,b,n)
local suite,k,sol,suiten;
suite:=val_suite(a,b,n);
sol:=NULL;
for k from 1 to n+1 do
suiten:=suite[k];
sol:=sol,suiten[2]-suiten[1];
od:
[sol];
end:

> evalf(erreur(1,3,5));

Commentons ces valeurs, il apparait des choses étranges comme la valeur néagtive pour b4-a4 alors que celle-ci devrait être positive (suites adjacentes)

Par ailleurs la différence b5-a5 est suspecte car on imagine mal la suite devenir stationnaire comme nous le montre le calcul des valeurs suivantes

> evalf(erreur(1,3,15));

En fait les choses deviennent plus claires lorsque l'on change la précision des calculs

> Digits:=50;

> evalf(erreur(1,3,5));

La convergence étant si rapide et les expressions si complexes que les résultats approchés sont très sensibles à la précision qu'on se fixe.