KM05_exo3.html

Exercice 3

Question a)

> restart:

> perturbee:=proc(u1,n) option remember; Méthode récursive
local u;
if n=1 then [u1]; else
u:=perturbee(u1,n-1);[op(u),evalf(u[n-1]*(u[n-1]+1/n))];
fi;
end:

> perturbee(1,5);

> perturbee(1,10);

Question b)

> test:=proc(u1)
local l,u,n,suite,sol,maxi;
maxi:=10: pour éviter une boucle infinie on se fixe un nombre maximal (maxi) d'itérations
n:=1;l:=1; Par défaut nous affectons la valeur l=1
u:=u1;
la limite potentielle l est déterminée lors d'une des conditions ci-dessous pour u1
if is(u<=1-1/n) then l:=0;
elif is(u>=1) then l:=+infinity; fi;
N'ayons pas de réponse déterminnée pour u1, nous essayons les valeurs successives (jusqu'à l'indice maxi)
while is(l=1 and n<maxi) do
u:=u*(u+1/n);n:=n+1;
if is(u<=1-1/n) then l:=0;
elif is(u>=1) then l:=+infinity; fi;
od;
Après ces nombreuses tentatives, on peut espérer conclure sans trop se tromper
if l=+infinity then sol:=true else sol:=false; fi;
end:

> test(0.3);test(1);

Question c)

> alpha:=proc(epsilon)
local a,b,m,n,t;
n:=0:a:=0;b:=1; intialement (n=0) on travaille sur l'intervalle [a,b]=[0,1]
while is(b-a>epsilon) do
n:=n+1:m:=(a+b)/2;t:=test(m);
On remplace [a,b] par le segmet coupé en son milieu m
if t then b:=m c'est le segment [a,m] si pour u1=m la suite u tend vers +infini, (car alors alpha<m)
else a:=m fi; c'est le segment [m,b] si pour u1=m la suite u ne tend pas vers +infini (car alors alpha>=m)
od;
m,n;
end:

> u:=alpha(1/10):'alpha'=evalf(u[1]); 'n'=u[2];

> u:=alpha(1/100):'alpha'=evalf(u[1]); 'n'=u[2];

> u:=alpha(1/1000):'alpha'=evalf(u[1]); 'n'=u[2];

> u:=alpha(1/10000):'alpha'=evalf(u[1]); 'n'=u[2];

> Digits:=12:

> u:=alpha(10^(-10)):'alpha'=evalf(u[1]); 'n'=u[2];

> with(plots):

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> e:=10^(-4):u:=perturbee(alpha(e)):n:=nops(u):plot([seq([k,u[k]],k=1..n)],0..n,0..e,style=point);

> e:=10^(-10):u:=perturbee(alpha(e)):n:=nops(u):plot([seq([k,u[k]],k=1..n)],0..n,0..e,style=point);

> e:=10^(-15):u:=perturbee(alpha(e)):n:=nops(u):plot([seq([k,u[k]],k=1..n)],0..n,0..e,style=point);

> e:=10^(-20):u:=perturbee(alpha(e)):n:=nops(u):plot([seq([k,u[k]],k=1..n)],0..n,0..e,style=point);