Cauchy.html

Exercice 2

> restart;with(plots):secu:=50:Digits:30:secu est un nombre maximal d'itérations, évitant les boucles trop longues

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Question a)

> Cauchy:=proc(f,a,epsilon)
local aa,bb,compteur,milieu;
aa:=a;bb:=f(aa)+aa;compteur:=1;
while is(abs(bb-aa)>epsilon) and compteur<secu do
compteur:=compteur+1;aa:=bb;bb:=f(bb)+bb;
od;
[compteur,aa];
end:

Question b)

Premier exemple

> f:=x->exp(-0.5*x)-1;a:=4;epsilon:=10^(-8);

> sol:=Cauchy(f,a,epsilon); solution proposé par la procédure Cauchy

> 'f'(sol[2])=evalf(f(sol[2])); valeur de f en ce point

Deuxième exemple

> f:=x->x^3-4*x+1;a:=1.86;epsilon:=10^(-4);

> sol:=Cauchy(f,a,epsilon); solution proposé par la procédure Cauchy

> 'f'(sol[2])=evalf(f(sol[2])); valeur de f en ce point

Troisième exemple

> f:=x->x^3-4*x+1;a:=0.254;epsilon:=10^(-4);

> sol:=Cauchy(f,a,epsilon); solution proposé par la procédure Cauchy

> 'f'(sol[2])=evalf(f(sol[2])); valeur de f en ce point

Illustration Graphique

> f:=x->exp(-0.5*x)-1;sol:=SCauchy(f,a,epsilon):

> N:=sol[1]:s:=sol[2..N+1]:

> Graphique(f,-a,a,N,s);

sur l'axe des abbscissdes apparaissent les points de la suite x(n+1)=xn+f(xn)
la courbe est cell de f

> points:=seq([i,s[i]],i=1..N):

> plot([points],color=black,thickness=2,style=point);

Les points tracés sont ceux de coordonnées (n,xn)

> Quelques Explications

Pour que la méthode du point fixe de Cauchy-Picard marche correctement encore faut-il que la fonction g(x)=f(x)+x soit contractante sur un intervalle stable contenant a
A défaut de pouvoir justifier rigoureusement le défaut de la méthode pour les deux derniers exemples, la grande valeur de |g'(a)| perment de voir comment la propriété "g est contractante" est mise en défaut (cf théorème des accroissements finis)

Deuxième Exemple

> f:=x->x^3-4*x+1;a:=1.86;

> g:=unapply(f(x)+x,x);

> Diff('g'(a),x)=subs(x=a,diff(g(x),x));

Troisième Exemple

> f:=x->x^3-4*x+1;a:=0.254;

> g:=unapply(f(x)+x,x);

> Diff('g'(a),x)=subs(x=a,diff(g(x),x));

> Comment y remédier

Au lieu de résoudre f(x)+x=x pour trouver les zeros de f, il s'agit de chercher les zeors de f comme étant solution de
k f(x) + x = x
où k est choisi de facon à rendre g(x)=kf(x)+x contractante (au moins sur un intervalle stable contenant a)

> a:=0.254;Diff('f'(a),x)=subs(x=a,diff(f(x),x));

Aucune valeur de k ne rendra g contractante sur R, cependant en prenant k=-1/10 et k=1/10, on a aura |g'(a)|<1 (pour a=1.86 et a=0.254)
on peut raisonablement penser que cela restera encore vraie en tout point d'un voisinage I de a (par continuité de g').
Encore faut-il choisir a est suffisament proche d'un point fixe pour que toute valeur successive de la suite définie par x(n+1)=g(xn) reste dans I

> fk:=unapply(f(x)/10,x); ici fk=k*f

> Cauchy(fk,1.86,10^(-4));

> Cauchy(-fk,0.254,10^(-5));

On voit apparaitre un nouveau candidat pour être zero de f, on calcule la dérivée en ce point

> a:=-2.11;Diff('f'(a),x)=subs(x=a,diff(f(x),x));

ici encore k=-1/10 devrait suffire

> Cauchy(-fk,-2.11,10^(-9));