KM07_ex3.html

EXERCICE 3

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Question a)

> imageL:=proc(u)
local i,s,l;
s:=NULL;
for i from 1 to 5 do
s:=s,evalf(u(i));
od;
l:=[s];
end:

Cette procédure renvoie la liste des cinq valeurs [u(1),u(2),u(3),u(4),u(5)] d'une permutation u

> Question b)

> r:=array(0..5);R:=array(0..5);s:=array(1..5);S:=array(1..5); On alloue l'espace destiné aux 4 tableaux s,S,r,R

> Question c)

On crée les permutations r1 et s1

> r[1]:=x->piecewise(x=1,2,x=2,3,x=3,4,x=4,5,x=5,1);

> s[1]:=x->piecewise(x=1,1,x=2,5,x=3,4,x=4,3,x=5,2);

> Question d)

> On crée les permutations rk, obtenue par compositions successives de r1 avec elle-même

> for k from 2 to 5 do r[k]:=(r[1])@(r[k-1]) od;

> r[0]:=r[5]: On affecte r5 à r0

> Question e)

On défnit les permutations sk composition de s1 avec r(k-1)

> for k from 2 to 5 do s[k]:=s[1]@r[k-1] od;

> Question f)

On defiunit les listes images Rk et Sk associées aux permutations rk et sk respectivement

> for i from 1 to 5 do
R[i-1]:=imageL(r[i-1]);S[i]:=imageL(s[i]);
od;

On défnit la liste des éléments de G: [r0,r1,..,r4,s1,..,s5]

> G:=[seq(r[k],k=0..4),seq(s[k],k=1..5)];

> Question g)

> Nom:=proc(u)
local i,sol,N;
sol:=XX;N:=imageL(u);
for i from 1 to 5 do
if evalb(R[i-1]=N) then sol:=evaln(r[i-1]); fi;
if evalb(S[i]=N) then sol:=evaln(s[i]); fi;
od;
sol;
end:

Cette procédure renvoie le nom (r0,r,1...,s1,..s4 ou s5) de la permutation donnée en argument

> Question h)

> GC:=array(1..10,1..10); On alloue l'espace pour le tableau GC qui contiendra la table de composition de G

> for i from 1 to 10 do
for j from 1 to 10 do
GC[i,j]:=G[i]@G[j];
od;od;

> eval(GC);

> Tab:=map(Nom,GC); Tab contient le nom de chaque élément de la table de composition

> Tous les élèments de la table sont dans G, donc G est stable par composition

la colonne r0 laisse invariant les éléments parcourus, c'est donc un élément neutre à droite
la ligne r0 laisse invariant les éléments parcourus, c'est donc un élément neutre à droite
Conclusion: r0 est l'élément neutre de G (en fait r0 est l'identité)
toute ligne contient l'élément neutre r0, donc tout élément de G admet un symétrique à droite (voir colonne correspondante)
toute ligne contient l'élément neutre r0, donc tout élément de G admet un symétrique à gauche (voir ligne correspondante)
Conclusion G est stable par passage au symétrique

G est donc un sous-groupe du groupe des permutations

Vérifions la commutativité, c'est à dire si la table de composition est symétrique par rapport à sa diagonale

> rep:=true: #Commutativité?
for i from 1 to 10 do
for j from i to 10 do
if evalb(Tab[i,j]<>Tab[j,i]) then rep:=false,i,j; fi;
od: od: rep;

G n'est pas abélien, en effet l'element (10,9) est distinct de (9,10)

> Question i)

> cette procédure toute les composées de u avec les éléments de G jusqu'à trouver l'élément neutre r0

> inverse:=proc(u)
local i,F;
i:=1:F:=G[i]@u;
while evalb(evaln(r[0])<>Nom(F)) do i:=i+1;F:=G[i]@u; od;
Nom(G[i]);
end:

> inverse(r[1]);

> Question j)

pour résoudre ux=v il suffit de prendre x=symetrique(u)ov

> resoudre:=proc(u,v)
local sol;
sol:=inverse(u)@v;
Nom(sol);
end:

> resoudre(r[1],s[2]);