exo4.html

Exercice 4

Question a

> partition:=proc(n,k) options remember;
local gauche,droite,parti,i;
if n=1 then
       if k<>1 then parti:={} else parti:={[1]}; fi:
      else Dans le cas général on va construtire les partitions, à partir de celles obtenues sur les n-1 dernièrs élements, en choissisant celle qui contiendra le premièr élément (notons le 0)
       gauche:=partition(n-1,k-1); gauche contient les (k-1)-partitions de l'ensemble E privé de 0 (notons E' cet ensemble)
       parti:=map2(colle,k,gauche); rajoute à gauche une k-ième partie qui est le singleton: 0
       droite:=partition(n-1,k);    droite contient les k-partitions de l'ensemble E'
       for i from 1 to k do         on distribue sur chaque partie (numérotée i allant de 1 à k) , l'ément 0
             gauche:=map2(colle,i,droite); gauche modifie les k-partitions de droite on ajoutant à chacune l'élément i
             parti:={op(gauche),op(parti)}; on fusionne les k-partitions de E jusqu'ici obtenues dans parti
       od;
fi;
parti;
end:

> partition(4,3);

> Question b

> p_classes:=proc(E,k)
local i,j,p,n,Np,sol;
n:=nops(E);
p:=partition(n,k);
Np:=nops(p);
sol:=array(1..Np,1..k);
for i from 1 to Np do
for j from 1 to k do
sol[i,j]:=ens3(E,p[i],j); sol est un tableau dont chaque ligne contient une des k k-partitions de E
od; od;
evalm(sol);
end:

> p_classes([a,b,c,d,e,f],3);

> Question c

> Stirling:=proc(n,k) options remember;
local s;
if n<1 then s:=0;
      else if n=1 then if k<>1 then s:=0 else s:=1 fi;
                  else s:=Stirling(n-1,k-1)+k*Stirling(n-1,k);
            fi;
fi;
s;
end:

> Stirling(17,5);

> Triangle_Stirling:=proc(m)
local i,j,T;
T:=array(1..m+1,1..m+1);
for i from 0 to m do
for j from 0 to m do
   if i=0 or j=0 then T[i+1,j+1]:=0
    elif i=1 and j<>1 then T[i+1,j+1]:=0;
    elif i=1 and j=1 then T[2,2]:=1;
     else T[i+1,j+1]:=T[i,j]+j*T[i,j+1]; fi;
od;od;
for i from 0 to m do T[1,i+1]:='k'=i;T[i+1,1]:='n'=i; od;T[1,1]:='k/n';
evalm(T);
end:

> T:=Triangle_Stirling(8);