exo6.html

> restart;

> Exercice 6

> question b)

> zero_sur_pivot_historique:=proc(i,A)
local t,B,k,hist;
hist:=NULL;
t:=taille(A);
B:=array(1..t[1],1..t[2]);
B:=evalm(A);
if is(i>t[2]) or is(i>t[1]) or is(B[i,i]<>1) then RETURN(IMPOSSIBLE); fi;
for k from 1 to i-1 do
hist:=hist,["Transvection_ligne",k,-B[k,i],i]; hist contient la séquence des opérations élémentaires effectuées sur B
B:=Transvect_ligne(k,-B[k,i],i,B);
od;
evalm(B),[hist];
end:

> zero_sous_pivot_historique:=proc(i,A)
local t,B,k,hist;
hist:=NULL;
t:=taille(A);
B:=array(1..t[1],1..t[2]);
B:=evalm(A);
if is(i>t[2]) or is(i>t[1]) or is(B[i,i]=0) then RETURN(IMPOSSIBLE); fi;
  hist:=hist,["Dilate_ligne",1/B[i,i],i];
  B:=Dilat_ligne(1/B[i,i],i,B);
for k from i+1 to t[1] do
hist:=hist,["Transvection_ligne",k,-B[k,i],i]; hist contient la séquence des opérations élémentaires effectuées sur B
  B:=Transvect_ligne(k,-B[k,i],i,B);
od;
evalm(B),[hist];
end:

> Gauss_systeme_cramer_historique:=proc(A)
local T,i,j,t,hist,temp;
hist:=NULL;
t:=taille(A);
T:=array(1..t[1],1..t[2]);
T:=evalm(A);
if (t[1]<>t[2]) then RETURN(IMPOSSIBLE) fi;
for j from 1 to t[1] do
i:=CherchePivot_colonne(T,j);
if i<>0 then T:=Permut_ligne(i,j,T);
              hist:=hist,["Echange_ligne",i,j]; hist contient la séquence des opérations élémentaires effectuées sur B
              temp:=zero_sous_pivot_historique(j,T);
              T:=temp[1];
              hist:=hist,op(temp[2]);
fi;
od;
if (sum(T[k,k],k=1..t[1])<>t[1]) then RETURN(IMPOSSIBLE) fi;
for j from t[1] to 1 by -1 do
   temp:=zero_sur_pivot_historique(j,T);
   T:=temp[1];
   hist:=hist,op(temp[2]);
  od;
[hist];
end:

> question c)

> Gauss_inverse:=proc(A)
local T,j,k,q,t,m,hist;
t:=taille(A);
T:=array(1..t[1],1..t[2]);
for j from 1 to t[1] do
  for k from 1 to t[1] do    T[j,k]:=0;   od; tous les coefficients de la ligne j sont nulls
  T[j,j]:=1; sauf celui d'indice j
od;
On a a obtenu jusqu'ici la matrice identité
hist:=Gauss_systeme_cramer_historique(A);
m:=nops(hist);
On applique les mêmes opérations sur les lignes à l'identité In que celles appliquée à A pour passer de A à In
for j from 1 to m do
q:=hist[j];
if q[1]="Echange_ligne" then T:=Permut_ligne(q[2],q[3],T);
  elif q[1]="Dilate_ligne" then T:=Dilat_ligne(q[2],q[3],T);
  elif q[1]="Transvection_ligne" then T:=Transvect_ligne(q[2],q[3],q[4],T);
fi;
od;
evalm(T);
end:

> question d)

> A:=array(1..4,1..4): for i from 1 to 4 do for j from 1 to 4 do A[i,j]:=min(i,j): od:od:

> A=evalm(A);

> Gauss_inverse(A);