ex13.mw

Exercice 13

> restart;

> rho:=theta->(1+2*cos(theta))/(2*sin(theta)+1);

rho := proc (theta) options operator, arrow; (1+2*cos(theta))/(2*sin(theta)+1) end proc

Domaine d'Etude

On réduit l'intervalle d'étude à -Pi..Pi par périodicité

> rho(theta+2*Pi)=rho(theta);

(1+2*cos(theta))/(2*sin(theta)+1) = (1+2*cos(theta))/(2*sin(theta)+1)

> evalb(%);

true

>

s

Points caractéristiques

Intersection avec l'axe des abscisses

> assume(t>=-Pi and t<=Pi);

> r:=[solve(rho(t)=0,t)];

avec le point O

r := [2/3*Pi, -2/3*Pi]

> r:=[solve(rho(t)*sin(t)=0,t)];

avec l'axe des abscisses

r := [0, 2/3*Pi, -2/3*Pi]

> r:=[solve(rho(t)*cos(t)=0,t)];

avec l'axe des ordonnées

r := [-1/2*Pi, 1/2*Pi, 2/3*Pi, -2/3*Pi]

> t_0:=-2*Pi/3:M(t_0)=[rho(t_0)*cos(t_0),rho(t_0)*sin(t_0)],'rho'(t_0)=rho(t_0);

M(-2/3*Pi) = [0, 0], rho(-2/3*Pi) = 0

> t_0:=-Pi/2:M(t_0)=[rho(t_0)*cos(t_0),rho(t_0)*sin(t_0)],'rho'(t_0)=rho(t_0);

M(-1/2*Pi) = [0, 1], rho(-1/2*Pi) = -1

> t_0:=0:M(t_0)=[rho(t_0)*cos(t_0),rho(t_0)*sin(t_0)],'rho'(t_0)=rho(t_0);

M(0) = [3, 0], rho(0) = 3

> t_0:=Pi/2:M(t_0)=[rho(t_0)*cos(t_0),rho(t_0)*sin(t_0)],'rho'(t_0)=rho(t_0);

M(1/2*Pi) = [0, 1/3], rho(1/2*Pi) = 1/3

> t_0:=2*Pi/3:M(t_0)=[rho(t_0)*cos(t_0),rho(t_0)*sin(t_0)],'rho'(t_0)=rho(t_0);

M(2/3*Pi) = [0, 0], rho(2/3*Pi) = 0

Calcul de la direction de la tangente

> Drho:=D(rho);

Drho := D(rho)

> cV:=Drho(theta)/rho(theta);

cV := (-2*sin(theta)/(2*sin(theta)+1)-2*(1+2*cos(theta))*cos(theta)/(2*sin(theta)+1)^2)*(2*sin(theta)+1)/(1+2*cos(theta))

> cV:=factor(simplify(cV));

cotan V

cV := -2*(sin(theta)+cos(theta)+2)/((2*sin(theta)+1)*(1+2*cos(theta)))

> V:=unapply(arccot(cV),theta);

On en déduit V modulo Pi

V := proc (theta) options operator, arrow; Pi-arccot(2*(sin(theta)+cos(theta)+2)/((2*sin(theta)+1)*(1+2*cos(theta)))) end proc

D'où quelques tangentes particulières

> t_0:=-Pi/2:'V'(t_0)=V(t_0);

V(-1/2*Pi) = arccot(2)

> t_0:=0:'V'(t_0)=V(t_0);

V(0) = Pi-arccot(2)

> t_0:=Pi/2:'V'(t_0)=V(t_0);

V(1/2*Pi) = Pi-arccot(2)

les tangentes ont même orientation relativement à la direction (OM)

>

Etudions les asymptotes en -Pi/6 et -5Pi/6

> t_0:=-Pi/6:#En -Pi/6 à droite, on  a bien une branche infinie car:

> Limit('rho'(theta),theta=t_0,right)=limit(rho(theta),theta=t_0,right);

Limit(rho(theta), theta = -1/6*Pi, right) = infinity

la direction asymptotique est -Pi/6.

dans le repère tourné de cet angle on a la coordonnée Y

> Y:=theta->rho(theta)*sin(theta+Pi/6);

Y := proc (theta) options operator, arrow; rho(theta)*sin(theta+1/6*Pi) end proc

> Limit('Y'(theta),theta=t_0,right)=limit(Y(theta),theta=t_0,right);

Limit(Y(theta), theta = -1/6*Pi, right) = 1+1/3*3^(1/2)

D'où l'équation de l'asymptote dans ce nouveau repère Y=1+sqrt(3)/3

Position relative:

> delta:=simplify(combine(Y(tau)-1-sqrt(3)/3));#Expression de  Y(tau)-1-sqrt(3)/3

delta := 1/6*(6*sin(tau+1/6*Pi)+6*sin(2*tau+1/6*Pi)-3-12*sin(tau)-4*3^(1/2)*sin(tau)-2*3^(1/2))/(2*sin(tau)+1)

> delta_u:=subs(tau=u-Pi/6,delta);#changement de variable

delta_u := 1/6*(6*sin(u)+6*sin(2*u-1/6*Pi)-3-12*sin(u-1/6*Pi)-4*3^(1/2)*sin(u-1/6*Pi)-2*3^(1/2))/(2*sin(u-1/6*Pi)+1)

> Limit('delta_u'/u,u=0,right)=limit(delta_u/u,u=0,right);

Limit(delta_u/u, u = 0, right) = 1/6*3^(1/2)-1/6

Comme delta_u est au voisinage de 0 (à droite) du signe de la limite delta_u/u, on trouve que

la courbe est au dessus de l'asymptote

> u:='u':#assume(u>-Pi/6 and u<-Pi/7);

> plot(delta_u,u=-0.1..0.1);

[Plot]

>

> t_0:=-Pi/6:

En -Pi/6 à gauche, on  a bien une branche infinie car:

> Limit('rho'(theta),theta=t_0,left)=limit(rho(theta),theta=t_0,left);

Limit(rho(theta), theta = -1/6*Pi, left) = -infinity

la direction asymptotique est -Pi/6. dans le  repère tourné de cet angle on a la coordonnée Y

> Y:=theta->rho(theta)*sin(theta+Pi/6);

Y := proc (theta) options operator, arrow; rho(theta)*sin(theta+1/6*Pi) end proc

> Limit('Y'(theta),theta=t_0,left)=limit(Y(theta),theta=t_0,left);

Limit(Y(theta), theta = -1/6*Pi, left) = 1+1/3*3^(1/2)

D'où l'équation de l'asymptote dans ce nouveau repère Y=1+sqrt(3)/3

Position relative:

> delta:=simplify(combine(Y(tau)-1-sqrt(3)/3));#Expression de  Y(tau)-1-sqrt(3)/3

delta := -1/6*(-6*sin(tau+1/6*Pi)-6*sin(2*tau+1/6*Pi)+3+12*sin(tau)+4*3^(1/2)*sin(tau)+2*3^(1/2))/(2*sin(tau)+1)

> delta_u:=subs(tau=u-Pi/6,delta);#changement de variable

delta_u := -1/6*(-6*sin(u)-6*sin(2*u-1/6*Pi)+3+12*sin(u-1/6*Pi)+4*3^(1/2)*sin(u-1/6*Pi)+2*3^(1/2))/(2*sin(u-1/6*Pi)+1)

> Limit('delta_u'/u,u=0,left)=limit(delta_u/u,u=0,left);

Limit(delta_u/u, u = 0, left) = 1/6*3^(1/2)-1/6

comme delta_u est au voisinage de 0 (à droite) du signe contraire de la limite delta_u/u, on trouve que

la courbe est en dessous de de l'asymptote

>

>

>

> t_0:=-5*Pi/6:

En -5Pi/6 à droite, on  a bien une branche infinie car:

>

> Limit('rho'(theta),theta=t_0,right)=limit(rho(theta),theta=t_0,right);

Limit(rho(theta), theta = -1/6*Pi, right) = infinity

la direction asymptotique est -5Pi/6. dans le  repère tourné de cet angle on a la coordonnée Y

> Y:=theta->rho(theta)*sin(theta+5*Pi/6);

Y := proc (theta) options operator, arrow; rho(theta)*sin(theta+5/6*Pi) end proc

> Limit('Y'(theta),theta=t_0,right)=limit(Y(theta),theta=t_0,right);

Limit(Y(theta), theta = -1/6*Pi, right) = infinity

D'où l'équation de l'asymptote dans ce nouveau repère Y=1-sqrt(3)/3

Position relative:

> delta:=simplify(combine(Y(tau)-1+sqrt(3)/3));#Expression de  Y(tau)-1+sqrt(3)/3

delta := 1/6*(6*cos(tau+1/3*Pi)-3+6*cos(2*tau+1/3*Pi)-12*sin(tau)+4*3^(1/2)*sin(tau)+2*3^(1/2))/(2*sin(tau)+1)

> delta_u:=subs(tau=u-5*Pi/6,delta);#changement de variable

delta_u := 1/6*(6*cos(u-1/2*Pi)-3+6*cos(2*u-4/3*Pi)-12*sin(u-5/6*Pi)+4*3^(1/2)*sin(u-5/6*Pi)+2*3^(1/2))/(2*sin(u-5/6*Pi)+1)

> Limit('delta_u'/u,u=0,right)=limit(delta_u/u,u=0,right);

Limit(delta_u/u, u = 0, right) = -1/6*3^(1/2)-1/6

comme delta_u est au voisinage de 0 (à droite) du signe de la limite delta_u/u, on trouve que

la courbe est en desous de l'asymptote

>

> t_0:=-5*Pi/6:#En -5Pi/6 à gauche, on  a bien une branche infinie car:

>

> Limit('rho'(theta),theta=t_0,left)=limit(rho(theta),theta=t_0,left);

Limit(rho(theta), theta = -5/6*Pi, left) = -infinity

> #la direction asymptotique est -Pi/6. dans le  repère tourné de cet angle on a la coordonnée Y

> Y:=theta->rho(theta)*sin(theta+5*Pi/6);

Y := proc (theta) options operator, arrow; rho(theta)*sin(theta+5/6*Pi) end proc

> Limit('Y'(theta),theta=t_0,left)=limit(Y(theta),theta=t_0,left);

Limit(Y(theta), theta = -5/6*Pi, left) = 1-1/3*3^(1/2)

D'où l'équation de l'asymptote dans ce nouveau repère Y=1-sqrt(3)/3

Position relative:

> delta:=simplify(combine(Y(tau)-1+sqrt(3)/3));#Expression de  Y(tau)-1-sqrt(3)/3

delta := 1/6*(6*cos(tau+1/3*Pi)-3+6*cos(2*tau+1/3*Pi)-12*sin(tau)+4*3^(1/2)*sin(tau)+2*3^(1/2))/(2*sin(tau)+1)

> delta_u:=subs(tau=u-5*Pi/6,delta);#changement de variable

delta_u := 1/6*(6*cos(u-1/2*Pi)-3+6*cos(2*u-4/3*Pi)-12*sin(u-5/6*Pi)+4*3^(1/2)*sin(u-5/6*Pi)+2*3^(1/2))/(2*sin(u-5/6*Pi)+1)

> Limit('delta_u'/u,u=0,left)=limit(delta_u/u,u=0,left);

Limit(delta_u/u, u = 0, left) = -1/6*3^(1/2)-1/6

comme delta_u est au voisinage de 0 (à gauche) du signe contraire de la limite delta_u/u, on trouve que

la courbe est au dessus de de l'asymptote

>

>

>

Variations de rho et de V

> plot(rho,-Pi..Pi,-10..10,discont=true);

[Plot]

> plot(V,-Pi..Pi,discont=true);

[Plot]

>

Support de courbe

> total:=[rho(t),t,t=-Pi..Pi]:asymp1:=[rho(t),t,t=-Pi/6..0]:asymp2:=[rho(t),t,t=-Pi/2..-Pi/6]:asymp3:=[rho(t),t,t=-5*Pi/6.. -5*Pi/6+0.4]:asymp4:=[rho(t),t,t=-5*Pi/6-0.2..-5*Pi/6]:

> plot([total,asymp1,asymp2,asymp3,asymp4],-2..5,-2..3,color=[red,blue,green,magenta,black],thickness=[2,2,2,2,2],coords=polar);

[Plot]

En bleu la partie asymptotique correspondant à -Pi/6 à droite  (courbe au dessus? voir sens du vecteur v(-Pi/6))

En vert la partie asymptotique correspondant à -Pi/6 à gauche  (courbe en dessous voir sens du vecteur v(-Pi/6))

En magenta la partie asymptotique correspondant à -5Pi/6 à droite (courbe en dessous voir sens du vecteur v(-5Pi/6))

En noir la partie asymptotique correspondant à -5Pi/6 à gauche (courbe au dessus voir sens du vecteur v(-5Pi/6))