Exercice 5

On défnit la paramétrisation,

>

restart;

>	x:=t->(1-t^2)/(1+t^2);y:=t->t*(1-t^2)/(1+t^2);

Domaine d'Etude

Réduisons l'intervalle d'étude à 0..infinity, En effet

>	[x(-t),y(-t)]=[x(t),-y(t)];

>

evalb(%);

Donc la partie de courbe correspondant aux paramétres négatifs se déduira par symétrie / à l'axe Ox

Calculons le vecteur vitesse

>	Vt:=[D(x)(t),D(y)(t)];

>	Vt:=simplify(Vt);

>	V:=unapply(Vt,t);

Cette courbe est donc régulière

Tangente aux points  M(0)=(1,0) et M(1)=(0,0)

Ces tangentes sont dirigées par les vecteurs

>	V(0);V(1);

D'où les équations des tangentes

>	XT0:=x(0)+t*op(1,V(0));YT0:=y(0)+t*op(2,V(0));

>	XT1:=x(1)+t*op(1,V(1));YT1:=y(1)+t*op(2,V(1));

>	EqT0:=[XT0,YT0,t=-infinity..infinity]:EqT1:=[XT1,YT1,t=-infinity..infinity]:

>

Branches Infinies éventuelles

>	Limit('x'(t),t=+infinity)=limit(x(t),t=+infinity),Limit('y'(t),t=+infinity)=limit(y(t),t=+infinity) ;

D'où une asymptote verticale d'équation paramétrique

>	XA:=-1;YA:=t;

>	EqA:=[XA,YA,t=-infinity..infinity]:

Position Relative: pour cela on étudie le signe de x(tau)-(-1) pour tau grand

>	assume(tau,real):is(x(tau)+1>0);

On a donc l'arc est à droite de cette asymptote... Par symétrie / Ox on a la même asymptote et la même position relative pour t->infinity

>

Etude des variations de x et y

>

plot(x);

>

plot(y);

>	varx:=D(x)(t)/abs(D(x)(t));

>	vary:=D(y)(t)/abs(D(y)(t))/2;

On trace en rouge le signe x' et en vert le signe de y'

>	plot([varx,vary],t=-5..5,discont=true,thickness=[3,3]);

>

Support de la courbe

>	total:=[x(t),y(t),t=-infinity..infinity]: partiel:=[x(t),y(t),t=0..infinity]:

>	plot([total,partiel,EqT0,EqT1,EqA],-1..1.1,-2..2,color=[blue,red,black,black,magenta],thickness=[1,2,1,1,2]);

>