Exercice 6

#On défnit la paramétrisation

>

restart;

>	x:=t->t/(1+t^4);y:=t->(t^3)/(1+t^4);

Domaine d'Etude

#Réduisons l'intervalle d'étude à 0..infinity, En effet

>	[x(-t),y(-t)]=[-x(t),-y(t)];

>

evalb(%);

#Donc la partie de courbe correspondant aux paramétres négatifs se déduira par symétrie / à O

#Réduisons l'intervalle d'étude à 0..1, En effet

>	[x(1/t),y(1/t)]=[y(t),x(t)];

>	simplify(%);

>

evalb(%);

Donc la partie de courbe correspondant aux paramétres plus grand que 1 se déduira par symétrie / à la première bissectrice

Calculons le vecteur vitesse

>	Vt:=[D(x)(t),D(y)(t)];

>	Vt:=simplify(Vt);

>	V:=unapply(Vt,t);

>

>

Cette courbe est régulière

Tangente aux points  A=M(0)=(0,0), B=M((1/3)^(1/4))=(0,0)  et C=M(1)=(1/2,1/2)

Ces tangentes sont dirigées par les vecteurs

>	V(0);V((1/3)^(1/4));V(1);

D'où les équations paramétrées des tangentes

>	XTA:=x(0)+t*op(1,V(0));YTA:=y(0)+t*op(2,V(0));

>	XTB:=x(1)+t*op(1,V((1/3)^(1/4)));YTB:=y(1)+t*op(2,V((1/3)^(1/4)));

>	XTC:=x(1)+t*op(1,V(1));YTC:=y(1)+t*op(2,V(1));

>	EqTA:=[XTA,YTA,t=-infinity..infinity]:EqTB:=[XTB,YTB,t=-infinity..infinity]:EqTC:=[XTC,YTC,t=-infinity..infinity]:

Etude des variations de x et y

>

plot(x);

>

plot(y);

>	varx:=D(x)(t)/abs(D(x)(t)):

>	vary:=D(y)(t)/abs(D(y)(t))/2:

On trace en rouge le signe x' et en vert le signe de y'

>	plot([varx,vary],t=0..1,discont=true,thickness=[3,3]);

>

support de la courbe

>	total:=[x(t),y(t),t=-infinity..infinity]: partiel:=[x(t),y(t),t=0..1]:

>	plot([total,partiel,EqTA,EqTB,EqTC],-0.6..0.6,-0.6..0.6,color=[blue,red,black,black,black],thickness=[1,2,2,2,2]);

>	plot(total,axes=none);

>