Exercice 8

On défnit la paramétrisation

>

restart;

>	x:=t->2*cos(t)+cos(2*t);y:=t->2*sin(t)-sin(2*t);

Domaine d'Etude

Réduisons l'intervalle d'étude à -Pi..Pi, par 2Pi périodicité puis à 0..Pi car

>	[x(-t),y(-t)]=[x(t),-y(t)];

>

evalb(%);

>

>

>

>

Donc la partie de courbe correspondant aux autres paramétres  se déduira par symétrie / à l'axe des abscisses

Calculons le vecteur vitesse

>	Vt:=[D(x)(t),D(y)(t)];

>	V:=unapply(Vt,t);

>	Cette courbe n'est donc régulière, les point de paramètre 0 est stationaire

>

V(0);

Tangente aux points  A=M(0)=(3,0), B=M(Pi/2)=(-1,2)  et C=M(Pi)=(-1,0)

#les tangentes en B et C sont dirigées par les vecteurs

>	V(Pi/2);V(Pi);

D'où les équations des tangentes

>	XTA:=x(Pi/2)+t*op(1,V(Pi/2));YTA:=y(Pi/2)+t*op(2,V(Pi/2));

>	XTC:=x(Pi)+t*op(1,V(Pi));YTC:=y(Pi)+t*op(2,V(Pi));

>	EqTA:=[XTA,YTA,t=-infinity..infinity]:EqTC:=[XTC,YTC,t=-infinity..infinity]:

Tangente au point stationnaire A

Calculons la limite du taux d'accroissement en 0

>	Limit((y(t)-y(0))/(x(t)-x(0)),t=0)=limit((y(t)-y(0))/(x(t)-x(0)),t=0);

On en déduit donc une tangente horizontale au point de A paramètre 0

>	XTB:=x(0)+t;YTB:=y(0);

>	EqTB:=[XTB,YTB,t=-infinity..infinity]:

Etude des variations de x et y

>	plot(x,0..Pi,-2..3);

>	plot(y,0..Pi,-3..3);

>	varx:=D(x)(t)/abs(D(x)(t)):

>	vary:=D(y)(t)/abs(D(y)(t))/2:

On trace en rouge le signe x' et en vert le signe de y'

>	plot([varx,vary],t=0..Pi,discont=true,thickness=[3,3]);

>

Support de la courbe

>	total:=[x(t),y(t),t=-Pi..Pi]: partiel:=[x(t),y(t),t=0..Pi]:

>	plot([total,partiel,EqTA,EqTB,EqTC],-3..3,-3..3,color=[blue,red,green,green,green],thickness=[1,2,2,2,2]);

>	plot(total,-3..3,-3..3,axes=none);

>