>	Exercice 16

>	f:=x->(x^2+x+1)*arctan(1/x);

Question a)

>	fprime:=diff(f(x),x): Diff('f'(x),x)=fprime;

>	varf:=fprime/abs(fprime):

Signe de la dérivée de f

>	plot(varf,x=-3..3,thickness=3,discont=true);

D'où f à une dérivée négative sur [-1,0] positive ailleurs

>

>	Question b)

>	'f'(x)=series(f(x),x=infinity,4);'f'(x)=series(f(x),x=-infinity,4);

f est au dessus de son asymptote y=x+1 en +infini et en dessous de celle-ci en -infini

>

>	Question c)

En 0+ on a

>	'f'(x)=subs(x=1/x,series(f(1/x),x=infinity,3));

En 0- on a

>	'f'(x)=subs(x=1/x,series(f(1/x),x=-infinity,3));

On en déduit que y=1/2*Pi+(-1+1/2*Pi)*x est une demi-tangente à droite en 0 et f est au dessus localement

De même y=-1/2*Pi-(1+1/2*Pi)*x est une demi-tangente à gauche en 0 et f est en dessous localement

>	plot([f(x),x+1,1/2*Pi+(-1+1/2*Pi)*x,-1/2*Pi-(1+1/2*Pi)*x],x=-5..5,-5..5,color=[red,blue,green,violet],thickness=[2,1,1,1],discont=true);

>

>	Exercice 17

>	f:=x->x^(1+1/x);

>	Question a) et b)

>	Limit('f'(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right);

>	Limit('f'(x)/x,x=0,right)=limit(f(x)/X,x=0,right);

f est donc continue et dérivable à droite en 0, de dérivée nulle

>

>	Question d)

>	Limit('f'(x)/x,x=infinity)=limit(f(x)/x,x=infinity);

>	Limit('f'(x)-x,x=infinity)=limit(f(x)-x,x=infinity);

D'où une branche parabolique de direction y=x

>	Question e) et f)

>	'f'(x)=series(f(x),x=1,4); Au voisinage de 1

f traverse sa tangente en 1, y=1+2(x-1)

>	plot([f(x),1+2*(x-1)],x=0..3,color=[red,blue],thickness=[2,1],discont=true); Courbe au voisnage de 0+

>	plot([f(x),1+2*(x-1)],x=0.5..1.8,color=[red,blue],thickness=[2,1],discont=true); Courbe au voisnage de 1

>