exo18-19-20.mw

> Exercice 18

> f:=x->ln(1+x+x^2);

f := proc (x) options operator, arrow; ln(1+x+x^2) end proc

on a le DL(0)

> f(x) =series(f(x),x=0,3);

ln(x^2+x+1) = (series(x+1/2*x^2+O(x^3),x,3))

D'où f est au dessus de sa tangente y=x en 0

> on a le DL(1)

> f(x) =series(f(x),x=1,3);

ln(x^2+x+1) = (series(ln(3)+(x-1)-1/6*(x-1)^2+O((x-1)^3),x = 1,3))

D'où f est en dessous de sa tangente y=ln(3)+(x-1) en 1

> plot([f(x),x,ln(3)+(x-1)],x=-0.5..1.5,color=[red,blue,green],thickness=[2,1,1],discont=true);

[Plot]

> Exercice 19

> f:=x->(cos(x)/ln(1+x))-1/x;

f := proc (x) options operator, arrow; cos(x)/ln(1+x)-1/x end proc

> f(x)=series(f(x),x=0,2);

cos(x)/ln(1+x)-1/x = (series(1/2-7/12*x+O(x^2),x,2))

D'où f prolongeable en 0 de facon dérivable avec f(0)=1/2 et f'(0)=-7/12

> f(x) =series(f(x),x=0,4);

cos(x)/ln(1+x)-1/x = (series(1/2-7/12*x-5/24*x^2+O(x^3),x,3))

D'où f est en dessous de sa tangente en 0 (localement)

> plot([f(x),1/2-7/12*x],x=0..1,color=[red,blue],thickness=[2,1],discont=true);

[Plot]

>

> Exercice 20

> f:=x->ln((exp(2*x)+3)/(exp(x)+1));

f := proc (x) options operator, arrow; ln((exp(2*x)+3)/(exp(x)+1)) end proc

> Question a)

> fprime:=diff(f(x),x):Diff('f'(x),x)=fprime;

Diff(f(x), x) = (2*exp(2*x)/(exp(x)+1)-(exp(2*x)+3)*exp(x)/(exp(x)+1)^2)*(exp(x)+1)/(exp(2*x)+3)

> varf:=fprime/abs(fprime):

> plot(varf,x=-30..30,thickness=2); Signe de la dérivée de f

[Plot]

f est donc croissante sur R+ et décroissante sur R-

>

> Question c)

> Limit('f'(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);

Limit(f(x), x = infinity) = infinity

> Limit('f'(x)/x,x=-infinity)=limit(f(x)/x,x=-infinity);

Limit(f(x)/x, x = -infinity) = 0

> g:=x->x+ln((1+3*exp(-2*x))/(1+exp(-x)));

g := proc (x) options operator, arrow; x+ln((1+3*exp(-2*x))/(1+exp(-x))) end proc

En +infini, on a le DL

> 'f'(x)=subs(x=exp(x),series(g(ln(x)),x=infinity,3));

f(x) = ln(exp(x))-1/exp(x)+7/2/(exp(x))^2+O(1/(exp(x))^3)

En -infini on a le DL

> 'f'(x)=subs(x=exp(x),series(g(ln(x)),x=0,3));

f(x) = ln(3)-exp(x)+5/6*(exp(x))^2+O((exp(x))^3)

D'où deux asymptotes y=x en +infini (f en dessous) et y=ln(3)  en -infini (f en dessous)

> A:=[ln(3),ln(3)];

A := [ln(3), ln(3)]

>

> Question d)-e)

par un DL en ln(3)

> f(x)=series(f(x),x=ln(3),3);

ln((exp(2*x)+3)/(exp(x)+1)) = (series(ln(3)+3/4*(x-ln(3))+9/32*(x-ln(3))^2+O((x-ln(3))^3),x = ln(3),3))

f est au dessus de sa tangente en ln(3), y=ln(3)+3/4*(x-ln(3))

>

> Question f)

> plot([f(x),ln(3),x,ln(3)+3/4*(x-ln(3))],x=-5..5,0..5,color=[red,blue,green,violet],thickness=[2,1,1,1],discont=true);

[Plot]

>