>	restart;with(linalg);

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>

>	Exercice 15

>	M:=array(1..3,1..3,[[1,-2,2],[1,-1,3],[5,-8,12]]);

Calcul du rang

>

Grang(M);

Donc rang(M)=2

>

Calcul du noyau (recherche d'une base)

>

(x,y,z) est dans le noyau ssi il est solution du systeme

>	Mk:=array(1..3,1..3,[[1,-2,2],[1,-1,3],[5,-8,12]]):

>	Gsyst(Mk,[x,y,z],[0,0,0]); c'est l'équation cartésienne du noyau

on voit que z peut jouer le rôle d'un parametre (normal dim Ker M=1) et on a alors

D'où un vecteur générateur de ker M est

>	e_1=(4,1,-1);

>

D'où une équation paramétrique du noyau (de paramètre t)

>	x=4*t;y=t;z=-t;

Calcul de l'image

cherchons parmi les vacteurs f(e1), f(2), f(e3) deux d'entre eux qui soient libres, ils formeront alors une base de l'image puisque rg(M)=2

par exemple f(e1) et f(e2) car non colinéaires (évident)

D'où une base (f1,f2) de Im(M)

>	f1=(1,1,5),f2=(2,-1,-8);

D'où une équation paramétrique de Im(M) (de parametre s et t)

>	x=s+2*t;y=s-t;z=5*s-8*t;

En éliminant les paramtres en les exprimant en fonction de y et z (grace aux deux premiere equations par exemple)

>	s=(x+2*y)/3;t=(x-y)/3;

on trouve l'équation cartésienne (de cet hyperplan)

>	z-5*(x+2*y)/3+8*(x-y)/3=0;

>

>	Exercice 16

relativement aux bases canoniques on a

>	M:=array(1..2,1..4,[[0,0,4,0],[0,0,0,12]]);

question c)

>	x^3,x^2*(x-1),x*(x-1)^2,(x-1)^3; est la famille relativement à la base canonique

>

>	map(expand,[%]);

d'où la matrice associée

>	P:=array(1..4,1..4,[[0,0,0,-1],[0,0,1,3],[0,-1,-2,-3],[1,1,1,1]]);

>

Grang(P);

", L[1], matrix([[1, 1, 1, 1], [0, 0, 1, 3], [0, -1, -2, -3], [0, 0, 0, -1]])" align="center">

", L[2], matrix([[1, 1, 1, 1], [0, -1, -2, -3], [0, 0, 1, 3], [0, 0, 0, -1]])" align="center">

cette famille est de rang 4, c'est donc une base.

>

question d)

>

la base x,x-1 admet pour matrice de passage

>

>	Q:=array(1..2,1..2,[[0,-1],[1,1]]);

>	inv_Q:=inverse(Q);

d'où la matrice de M dans la nouvelle base

>	M_prime:=evalm(inv_Q&*M&*P);

question e)

>	x^3+2*x^2(x-1)-x(x-1)^2+(x-1)^3=(1,2,-1,1);

d'où les coordonnées dans la nouvelle base

>	X_prime:=array(1..4,1..1,[[1],[2],[-1],[1]]);

d'où f(x^3+2*x^2(x-1)-x(x-1)^2+(x-1)^3) a pour coordonnées dans la nouvelle base

>	Y_prime:=evalm(M_prime&*X_prime);

et dans l'ancienne base

>	Y:=evalm(Q&*Y_prime);

en effet on le vérifie à la main:

>	T:=x->x^3+2*x^2*(x-1)-x*(x-1)^2+(x-1)^3;f(T)=simplify(D(T)(x+1)-D(T)(x-1));

>

>

>	Exercice 17

>

>	I_3:=array(1..3,1..3,[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);

>	A:=1/2*array(1..3,1..3,[[4,-1,-3],[-4,1,-3],[-4,1,5]]);

question a)

Calcul de E0

>

Grang(A);

", C[3], matrix([[1, (-3)/4, (-1)/4], [0, -3, 0], [0, 1, 0]])" align="center">

rg(A)=2, donc dim E0=1 un seul vecteur suffit, on résoud f(x,y,z)=0, on trouve le systeme (on n'ecrit pas la colonne  du second membre)

>	Gsyst(A,[x,y,z],[0,0,0]);

", C[3], matrix([[x, -3/4*z, -1/4*y], [0, -3*z, 0], [0, z, 0]]), "=", matrix([[0], [0], [0]])" align="center">

>

donc un vecteur générateur est

>	z0=(1,4,0);

>

>

>	Ca se voyait tout de suite car les colonnes f(e1) et f(e2) verifient f(e1)=-4f(e2) d'où e1-4e2 est dans le noyau et par l'opération C1<-C1+4*C2, on trouve le rang=2

>

Calcul de E1

>	A1:=evalm(A-I_3);

>	Grang(A1);

rg(A1)=2, donc dim E1=1 un seul vecteur suffit, on résoud f(x,y,z)=0, on trouve le systeme (on n'ecrit pas la colonne  du second membre)

>	Gsyst(A1,[x,y,z],[0,0,0]);

>

donc un vecteur générateur est

>	z1=(0,-3,1);

>

>

>	Ca se voyait tout de suite car les colonnes de E1:  f(e2) et f(e3) verifient f(e3)=3f(e2) d'où 3e2-e1 est dans le noyau et par l'opération C3<-C3-3*C2, on trouve le rang=2

>

>

Calcul de E4

>	A4:=evalm(A-4*I_3);

>	Grang(A4);

rg(A2)=2, donc dim E2=1 un seul vecteur suffit, on résoud f(x,y,z)=0, on trouve le systeme (on n'ecrit pas la colonne  du second membre)

>	Gsyst(A4,[x,y,z],[0,0,0]);

>

donc un vecteur générateur est

>	z4=(-3,0,4);

>

>

>	Ca se voyait tout de suite car les colonnes de E4:  f(e1) et f(e3) verifient f(e1)=4f(e3)/3 d'où e1-3e3/4 est dans le noyau et par l'opération C1<-C1-3*C3/4, on trouve le rang=2

>

>

question b)

les vecteurs z0,z1, z4 sont libres donc forment une base:

>	f(z0)=0; f(z1)=1; f(z4)=4*z4;

d'où la matrice dans la nouvelle base

>	A_prime:=array(1..3,1..3,[[0,0,0],[0,1,0],[0,0,4]]);

question c)

la matrice de passage est:

>	P:=array(1..3,1..3,[[1,0,-3],[4,-3,0],[0,1,4]]);

c'est en effet une base puisque de rang 3

>

Grang(P);

et on retrouve la matrice diagonale

>	evalm(inverse(P)&*A&*P);

pour info

>	inv(P)=inverse(P);

il suffit de résoudre P(x,y,z)=(a,b,c)  d'inconnues (a,b,c)

>	Gsyst_cramer(P,[x,y,z],[a,b,c]);

ou encore transformet la matrice identité à partir des mêmes opérations sur les lignes résultant du pivot de Gauss qui mènent de P à la matrice identité

>	Ginverse(P);

>