>	restart;with(linalg);

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>

>

>	Exercice 18

>

question a)

>	x1:=[1,0,1,0,1];x2:=[2,-1,2,-1,2];x3:=[1,-1,1,-1,1];x4:=[3,0,2,1,2];x5:=[1,1,0,2,1];x6:=[2,1,1,2,1];

>	tM:=array(1..6,1..5,[x1,x2,x3,x4,x5,x6]):

>	M:=transpose(tM);

>

Calcul du rang

>

Grang(M);

", C[4], matrix([[1, 2, 3, 1, 1, 2], [0, 1, 0, 1, -1, -1], [0, 0, -1, 0, -1, -1], [0, 0, 1, 0, 1, 1], [0, 0, -1, 0, 0, -1]])" align="center">

", C[5], matrix([[1, 2, 3, 1, 1, 2], [0, 1, 0, -1, 1, -1], [0, 0, 1, 1, 0, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0]])" align="center">

", L[4], matrix([[1, 2, 3, 1, 1, 2], [0, 1, 0, -1, 1, -1], [0, 0, 1, 1, 0, 1], [0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0]])" align="center">

", C[6], matrix([[1, 2, 3, 1, 2, 1], [0, 1, 0, -1, -1, 1], [0, 0, 1, 1, 1, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0]])" align="center">

Donc rang(M)=4

>

question b)

recherche d'une base, à l'aide de 4 vecteurs libres parmi les six proposés

>

>	tM:=array(1..3,1..5,[x1,x2,x3]):

>	M:=transpose(tM);

>

Grang(M);

Donc (x1,x2,x3) liée

>	tM:=array(1..3,1..5,[x1,x2,x4]):

>	M:=transpose(tM);

>

Grang(M);

>	Donc (x1,x2,x4) libre

>	tM:=array(1..4,1..5,[x1,x2,x4,x5]):

>	M:=transpose(tM);

>

Grang(M);

", L[4], matrix([[1, 2, 3, 1], [0, 1, 0, -1], [0, 0, 1, 1], [0, 0, 0, 1], [0, 0, 0, 0]])" align="center">

Donc (x1,x2,x4,x5) libre et donc base de Vect(x1,..,x6)

>

S'agissant d'un hyperplan, il suffit de trouver un vecteur n'appartenant pas à celui-ci pour avoir une droite supplémentaire

Ici nous allons plutot rajouter une colonne (non CL des précedentes) à la matrice obtenue après le pivot de Gauss et remonter les équivalences pour retrouver  un quatrieme vecteur qui forme une base

>	N:=array(1..5,1..5,[[1,2,3,1,0],[0,1,0,-1,0],[0,0,1,1,0],[0,0,0,1,0],[0,0,0,0,1]]);

>	Grang_inverse(M,N);

", L[4], matrix([[1, 2, 3, 1, 0], [0, 1, 0, -1, 0], [0, 0, 1, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1], [0, 0, 0, 1, 0]])" align="center">

Donc le vecteur (0,0,0,1,0) complete la famille précédente en une base

>

question c)

Voici les coordonnées relatives à la base canonique

>	P1:=[1,1,-1,1];P2:=[2,-1,0,1];P3:=[1,1,2,-1];P4:=[-1,1,1,0];

>	tM:=array(1..4,1..4,[P1,P2,P3,P4]):

>	M:=transpose(tM);

>

>

Grang(M);

C'est donc bien une base

>

>	Exercice 19

relativement aux bases canoniques on a

>	A:=array(1..4,1..4,[[-6,-2,0,10],[-3,1,0,4],[-5,-1,2,6],[-6,-2,0,10]]);

question a)

>

Grang(A);

D'où rang(A)=3

>

question b)

>	Gsyst(A,[x,y,z,t],[0,0,0,0]); On ne fait pas apparaitre la colonne nulle du second membre

Puisque le noyau est de dimension 1, il suffit d'un vecteur non nul dans celui-ci (par exemple pour t=1)

>	e1=[5/3-1/6,1/2,1,1];

(e1) est une base du noyau

>

question c)

A(a,b,c,d)=(x,y,z,t) est une équation paramétrique de Im(A) en [x,y,z,t] et de paramètres (a,b,c,d)

On élimine les paramétres afin d'obtenier une équation en x,y,z (et oui "une" puisque c'est un hyperplan que l'on cherche)

>	Gsyst(A,[a,b,c,d],[x,y,z,t]);

puisque les trois premiers paramètres (a,b,c) sont  fonction de x,y,z,t et du paramètre d,  la derniere équation (équation de compatibilité) est une équation cartésienne de im(A)

>	Eq_caretisenne:=-x+t=0;

Pour chercher une base il suffit de trouver 3 parmi les 4 colonne de A, qui soient indépendantes

>	A:=array(1..4,1..3,[[-6,-2,0],[-3,1,0],[-5,-1,2],[-6,-2,0]]);

>

Grang(A);

>

C'est gagné les trois premières colonnes forment une base de Im(A)