>	restart;with(linalg);

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>

>

>	Exercice 24

>

question a)

>	A:=matrix([[1,1,0],[0,4,1],[4,0,4]]);

>	P:=matrix([[1,1,-1],[4,1,0],[4,-2,1]]);

>

Grang(P);

Donc rang(P)=3, P est donc inversible, calculons son inverse.

Méthode 1: A l'aide du système associé

>	Gsyst_cramer(P,[x,y,z],[a,b,c]);

Méthode 2: A l'aide des opérations élémentaires issues du pivot de Gauss appliqué à la matrice Identité

>	Ginverse(P);

>	inv_P:=inverse(P);

question b) et c)

>

>	inv_PAP=evalm(inv_P&*A&*P);

C'est en fait la matrice B associée à l'application canoniquement associée à A, relativement à la base (e1, e2, e3) formée des colonnes de P

>	B:=evalm(inv_P&*A&*P);

>

>	question d)

>	J:=matrix([[5,0,0],[0,2,0],[0,0,2]]);

>	K:=matrix([[0,0,0],[0,0,1],[0,0,0]]);

>	JK:=evalm(J&*K);

>	KJ:=evalm(K&*J);

>	evalm(K^2);

et donc pour tout n>1 K^n=0

>	evalm(J^2);evalm(J^3);

et par récurrence pour tout entier n, J^n=diag(5^n,2^n,2^n)

>

>

Ainsi K et J commutent on peut appliquer la formule de Newton

>	B^n=(K+J)^n,"=",Sum(Cn^p*K^p*J^(n-p),p=0..n),"=",J^n+n*K*J^(n-1);

>	Bn:=evalm(diagonale([[5^n,2^n,2^n]])+K&*diagonale([[n*5^(n-1),n*2^(n-1),n*2^(n-1)]])):

>	B^n=evalm(Bn);

Or ('P'*'B'*inv_P)^n='P'*'B'^n*inv_P; d'où

>	An:=evalm(P&*B(n)&*inv_P):A^n=evalm(An);

>