>	with(linalg);

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Exercice 1

question a)

>	A:=matrix([[0,1,-1,1],[0,0,1,-1],[0,0,0,1],[0,0,0,0]]);

>	A^2=evalm(A^2);

>	A^3=evalm(A^3);

>	A^4=evalm(A^4);

question b)

>	"si n>3", A^n=evalm(A^4);

3", A^n = matrix([[0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0]])" align="center">

>

Exercice 2

>	A:=matrix([[1,2,3],[0,1,2],[0,0,1]]);I_3:=Matrix(3,3,shape=identity);

>	N:=evalm(A-I_3); N=A-I_3

>	N^2=evalm(N^2);

>	N^3=evalm(N^3);

>	A^n=('N'+'I_3')^n;

Or N et I_3 commutent on peut appliquer la formule du binôme de Newton

Pour n>3

>

>	A^n='I_3'+n*N+n*(n-1)/2* N^2;

>	A^n=evalm(I_3+n*N+n*(n-1)/2* N^2);

Exercice 3

>	A:=matrix([[0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]]);I_3:=Matrix(3,3,shape=identity);

>	B:=evalm(A+I_3); B=A+I_3

>	for i from 2 to 5 do B^i=evalm(B^i) od;

On montre par récurrence

>	B^k=evalm(3^(k-1)*B);

>	A^n=('B'-'I_3')^n;

Or N et I_3 commutent on peut appliquer la formule du binôme de Newton

Pour n>3

>

>	A^n=Sum(C_n^k*(-1)^(n-k) *B^k,k=0..n);

>	A^n=Sum(C_n^k*(-1)^(n-k) *3^(k-1)*B,k=1..n)+(-1)^n*'I_3';

>	A^n=((3-1)^n-(-1)^n)/3*B+(-1)^n*'I_3';

>	A^n=evalm(((3-1)^n-(-1)^n)/3*B+(-1)^n*I_3);

>

Exercice 4

>	A:=1/4*matrix([[1,-3,3],[-3,1,3],[0,0,4]]);I_3:=Matrix(3,3,shape=identity);

>	'A'^2=evalm(A^2);

>	a*'A'+b*'I_3'=evalm(a*A+b*I_3);

En comparant les coefficients de A et aA+bI_3, on trouve a et b

>	'A'^2=('A'+'I_3')/2;

On en déduit

>	'A'*(2*'A'-'I_3')='I_3';

>	'inverse(A)'=2*'A'-'I_3';

>	'inverse(A)'=evalm(2*A-I_3);

>	On le vérifie avec MAPLE

>	'inverse(A)'=inverse(A);

>

On motre par récurrence A^n=a_n* A+ b_n * I_3... d'où l'éxistence

or la famille est libre car a A+ b I_3=0 ssi

>	evalm(a*A+ b* I_3)=evalm(A-A);

d'où en comparant les coefficients a=b=0... d'où l'unicité

>	'A'^(n+1)='A'*(a_n*'A'+b_n*'I_3');

>	'A'^(n+1)=(a_n*'A'^2+b_n*'A');

>

>	'A'^(n+1)=(a_n*('A'+'I_3')/2+b_n*'A');

>	a_(n+1)*'A'+b_(n+1)*'I_3'=(a_n/2+b_n)*'A'+a_n/2*'I_3';

D'où puisque (I_3,A) libre

>	a_(n+1)=(a_n/2+b_n), b_(n+1)=a_n/2;

>	a_(n+1)=(a_n+a_(n-1))/2, b_(n+1)=a_n/2;

(a_n) suite récurrente linéaire d'ordre 2 de polynôme caractéristique associé:

>	P:=X^2-X/2-1/2;

dont les racines sont:

>	solve(P=0,X);

d'où

>	a_n=u*1^n+v*(-1/2)^n;

a_0=0 et a_1=1 d'où

>	0=u+v,1=u-v/2;

>	u=2/3, v=-2/3;

>	a_n=2/3*(1-(-1/2)^(n));

>	b_n=1/3*(1-(-1/2)^(n-1));

donc

>	'A'^n=2/3*(1-(-1/2)^(n))*'A'+1/3*(1-(-1/2)^(n-1))*'I_3';

le reste de la division euclidienne de X^n par P est

>	for n from 1 to 5 do 'n'=n,"reste de X^n par P","=",rem(X^n,P,X); od;

>

on motre par récurrence que

>	"reste de X^n par P","=",a_nX+b_n;

En fait il suffit d'évaluer

>	'X^n'=Q*P+u_nX+v_n;

en 1 et -1/2 (les racines de P) et on trouve

>	0=u_n+v_n,1=u_n-v_n/2;

D'où vu les conditions initiales

>	u_n=a_n,v_n=b_n;

>