>	restart;with(linalg);

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>

>	Exercice 4

>	question a) et b)

>

>

E,F, G sont des hyperplans donc de dimension 4

>

Etudions E inter F

>	L1:=[1,1,0,-1,0]: caractérise une forme linéaire de noyau E

>	L2:=[1,-1,0,0,1]: caractérise une forme linéaire de noyau F

>	L3:=[1,0,0,-1,1]: caractérise une forme linéaire de noyau G

>

D'après la carctérisation des systèmes (x,y,z,t,u) est dans E inter F ssi il est dans le système (ou encore dans le noyau de A=[L1 L2])

>	A:=matrix(2,5,[L1,L2]):

>	Gsyst(A,[x,y,z,t,u],[0,0]);

", C[4], matrix([[x, y, -t, 0, 0], [0, y, -1/2*t, 0, -1/2*u]]), "=", matrix([[0], [0]])" align="center">

", C[5], matrix([[x, y, 0, 0, -t], [0, y, -1/2*u, 0, -1/2*t]]), "=", matrix([[0], [0]])" align="center">

", C[5], matrix([[x, y, 0, -t, 0], [0, y, -1/2*u, -1/2*t, 0]]), "=", matrix([[0], [0]])" align="center">

D'où la dimension de E inter F est 3 et une base est donnée par

>	e1:=[1/2,1/2,0,1,0];e2:=[-1/2,1/2,0,0,1];e3:=[0,0,1,0,0];

On peut répondre uniquement à la question de la dimension en calculant le rang de A (ce qui donne la dimension du noyau)

>

Grang(A);

", C[4], matrix([[1, 1, -1, 0, 0], [0, 1, (-1)/2, 0, (-1)/2]])" align="center">

", C[5], matrix([[1, 1, 0, 0, -1], [0, 1, (-1)/2, 0, (-1)/2]])" align="center">

", C[5], matrix([[1, 1, 0, -1, 0], [0, 1, (-1)/2, (-1)/2, 0]])" align="center">

On retrouve ici rang(A)=2, d'où la dimension 3 du noyau par le théorème du rang

>

Etudions E inter F inter G

D'après la carctérisation des systèmes (x,y,z,t,u) est dans E inter F inter G ssi il est dans le système (ou encore dans le noyau de B =[L1 L2 L3])

>	B:=matrix(3,5,[L1,L2,L3]):

>	Gsyst(B,[x,y,z,t,u],[0,0,0]);

", C[4], matrix([[x, y, -t, 0, 0], [0, y, -1/2*t, 0, -1/2*u], [0, 0, -1/2*t, 0, 1/2*u]]), "=", matrix([[0], [0], [0]])" align="center">

", C[5], matrix([[x, y, -t, 0, 0], [0, y, -1/2*t, -1/2*u, 0], [0, 0, t, -u, 0]]), "=", matrix([[0], [0], [0]])" align="center">

D'où la dimension de E inter F inter G est 2 et une base est donnée par

>	e4:=[0,1,0,1,1];e3:=[0,0,1,0,0];

On peut répondre uniquement à la question de la dimension en calculant le rang de A (ce qui donne la dimension du noyau)

>

Grang(B);

", C[4], matrix([[1, 1, -1, 0, 0], [0, 1, (-1)/2, 0, (-1)/2], [0, 0, (-1)/2, 0, 1/2]])" align="center">

", C[5], matrix([[1, 1, -1, 0, 0], [0, 1, (-1)/2, (-1)/2, 0], [0, 0, 1, -1, 0]])" align="center">

>

On retrouve ici rang(A)=3, d'où la dimension 2 du noyau par le théorème du rang

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