>	restart;with(linalg);

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>	Exercice 15

question a)

>	x:='x':y:='y':z:='z':

>

u:=z+1:

>

v:=-x:

>

w:=-y-2:

>	f:=vector([u,v,w]):'f'(x,y,z)=evalm(f);

>

Etude de la partie linéaire

>	A:=matrix(3,3,[[0,0,1],[-1,0,0],[0,-1,0]]);

A est une matrice orthogonale

>	tAA:=evalm(transpose(A)&*A);

A est dans le groupe spécial orthogonal

>	det_A=det(A);

Calculons Inv(A)

X:=[x,y,z] est dans inv(A) ssi il est solution du système AX=X

>

>	Gsyst(A-tAA,[x,y,z],[0,0,0]);

A est la matrice de la rotation autour de

>	W:=1/sqrt(3)*vector([1,-1,1]);Wv:=transpose(matrix(1,3,[evalm(W)])):

Calculons l'angle theta de la rotation

le vecteur a ci-dessous est unitaire et orthogonal à W

>	a:=1/sqrt(2)*[1,1,0];av:=transpose(matrix(1,3,[evalm(a)])):

>	ct:=evalm(transpose(av)&*A&*av):

>	cos(theta)=('a','A'('a')),"=",op(ct);Aa:=[seq(evalm(A&*av)[i,1],i=1..3)]:

>	st:=det(matrix(3,3,[evalm(a),evalm(Aa),evalm(W)])):

>	sin(theta)=Det('a','A'('a'),'W'),"=",st;

C'est donc une rotation d'angle

>	theta=4*Pi/3;

>

Cherchons l'ensemble des invariants de f

>	Gsyst(A-tAA,[x,y,z],[-1,0,2]);

l'ensemble des invariants est donc

>	[1,-1,0]+R*W;

>	f est donc la rotation d'angle 4*Pi/3 autour de [1,-1,1]  d'axe  [1, -1, 0]+R*[1, -1, 1]

Ce qui compléte la caractérisation de la rotation f

>

question b)

>	x:='x':y:='y':z:='z':

>	u:=(alpha+2*x+2*y-z)/3:

>	v:=(alpha-1-x+2*y+2*z)/3:

>	w:=(alpha-2+2*x-y+2*z)/3:

>	f:=vector([u,v,w]):'f'(x,y,z)=evalm(f);

>

Etude de la partie linéaire

>	A:=(1/3)*matrix(3,3,[[2,2,-1],[-1,2,2],[2,-1,2]]);

A est une matrice orthogonale

>	tAA:=evalm(transpose(A)&*A);

A est dans le groupe spécial orthogonal

>	det_A=det(A);

Calculons Inv(A)

X:=[x,y,z] est dans inv(A) ssi il est solution du système AX=X

>

>	Gsyst(3*A-3*tAA,[x,y,z],[0,0,0]);

A est la matrice de la rotation autour de

>	W:=1/sqrt(3)*vector([1,1,1]);Wv:=transpose(matrix(1,3,[evalm(W)])):

Calculons l'angle theta de la rotation

le vecteur a ci-dessous est unitaire et orthogonal à W

>	a:=1/sqrt(2)*[1,-1,0];av:=transpose(matrix(1,3,[evalm(a)])):

>	ct:=evalm(transpose(av)&*A&*av):

>	cos(theta)=('a','A'('a')),"=",op(ct);Aa:=[seq(evalm(A&*av)[i,1],i=1..3)]:

>	st:=det(matrix(3,3,[evalm(a),evalm(Aa),evalm(W)])):

>	sin(theta)=Det('a','A'('a'),'W'),"=",st;

C'est donc une rotation d'angle

>	theta=-Pi/3;

>

Cherchons Omega tel que Omegaf(Omega) soit colinéaire à W

>	Omega:=[x,y,z];OmfOm:=evalm(f-Omega):

>	pv:=crossprod(OmfOm,W):

>	produit_vectoriel(Omegaf('Omega'),'W')=simplify(evalm(pv)),"=",[0,0,0];

>	Gsyst(matrix(3,3,[[-3,0,3],[3,-3,0],[0,3,-3]]),[x,y,z],[-1,2,-1]);

Donc ceci convient

>	x:=1/3:y:=-1/3:z:=0:'Omega'=Omega;

Ainsi le vecteur de translation est

>	Omegaf('Omega')=[u,v,w]-Omega;

Si a>1

>	f est donc le vissage d'axe  [1/3,1/3,0] + R[1,1,1] de vecteur (a-1)/3*[1,1,1] d'angle -Pi/3

Si a<1

>	f est donc le vissage d'axe  [1/3,1/3,0] + R[1,1,1] de vecteur (a-1)/3*[1,1,1] d'angle Pi/3

Si a=1

>	f est donc la rotation d'angle -Pi/3 autour de [1,1,1]  d'axe [1/3,1/3,0] + R[1,1,1]

Ce qui compléte la caractérisation du vissage f

>

>

>

Exercice 16

>

>	u:=(-7*x-4*y-4*z)/9-6:

>	v:=(4*x-8*y+z)/9+7:

>	w:=(-4*x-y+8*z)/9-10:

>	f:=vector([u,v,w]):'f'(x,y,z)=evalm(f);

>

Etude de la partie linéaire

>	A:=(1/9)*matrix(3,3,[[-7,-4,-4],[4,-8,1],[-4,-1,8]]);

A est une matrice orthogonale

>	tAA:=evalm(transpose(A)&*A);

A est dans le groupe spécial orthogonal

>	det_A=det(A);

Calculons Inv(A)

X:=[x,y,z] est dans inv(A) ssi il est solution du système AX=X

>

>	Gsyst(9*A-9*tAA,[x,y,z],[0,0,0]);

A est la matrice de la rotation autour de

>	W:=1/sqrt(17)*vector([-1,0,4]);Wv:=transpose(matrix(1,3,[evalm(W)])):

Calculons l'angle theta de la rotation

le vecteur a ci-dessous est unitaire et orthogonal à W

>	a:=[0,1,0];av:=transpose(matrix(1,3,[a])):

>	ct:=evalm(transpose(av)&*A&*av):

>	cos(theta)=('a','A'('a')),"=",op(ct);Aa:=[seq(evalm(A&*av)[i,1],i=1..3)]:

>	st:=det(matrix(3,3,[evalm(a),evalm(Aa),evalm(W)])):

>	sin(theta)=Det('a','A'('a'),'W'),"=",st;

Cherchons Omega tel que Omegaf(Omega) soit colinéaire à W

>	Omega:=[x,y,z];OmfOm:=evalm(f-Omega):

>	pv:=crossprod(OmfOm,W):

>	produit_vectoriel(Omegaf('Omega'),'W')=simplify(evalm(pv)),"=",[0,0,0];

>	Gsyst(matrix(3,3,[[4,-17,1],[4,1,1],[4,-17,1]]),[x,y,z],[-63,-18,-63]);

Donc ceci convient

>	x:=-41/8:y:=5/2:z:=0:

Ainsi le vecteur de translation est

>	Omegaf('Omega')=[u,v,w]-Omega;

Or Omegaf(Omega) et W sont de sens oppposé comme le prouve le produit scalaire

>	produit_scalaire=innerprod([u,v,w]-Omega,W);

f est donc le vissage d'axe [-41/8,5/2,0] + R[2,0,-8] de vecteur [2,0,-8] d'angle -theta

>

Ce qui compléte la caractérisation du vissage f

>

>