>	restart;with(linalg);

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>

Exercice 17

question a)

>	x:='x':y:='y':z:='z':

>

u:=-z+1:

>

v:=x:

>

w:=y-2:

>	f:=vector([u,v,w]):'f'(x,y,z)=evalm(f);

>

Etude de la partie linéaire

>	B:=matrix(3,3,[[0,0,-1],[1,0,0],[0,1,0]]);

B est une matrice orthogonale

>	tBB:=evalm(transpose(B)&*B);

B n'est pas dans le groupe spécial orthogonal

>	det_B=det(B);

Calculons Inv(B)

X:=[x,y,z] est dans inv(B) ssi il est solution du système BX=X

>

>	Gsyst(B-tBB,[x,y,z],[0,0,0]);

l'ensemble des invariants étant réduit à {0}, on étudie A=-B

>	A:=evalm(-B);

Calculons Inv(A)

X:=[x,y,z] est dans inv(A) ssi il est solution du système AX=X

>

>	Gsyst(A-tAA,[x,y,z],[0,0,0]);

A est la matrice de la rotation autour de

>	W:=1/sqrt(3)*vector([1,-1,1]);Wv:=transpose(matrix(1,3,[evalm(W)])):

Calculons l'angle theta de la rotation

le vecteur a ci-dessous est unitaire et orthogonal à W

>	a:=1/sqrt(2)*[1,1,0];av:=transpose(matrix(1,3,[evalm(a)])):

>	ct:=evalm(transpose(av)&*A&*av):

>	cos(theta)=('a','A'('a')),"=",op(ct);Aa:=[seq(evalm(A&*av)[i,1],i=1..3)]:

>	st:=det(matrix(3,3,[evalm(a),evalm(Aa),evalm(W)])):

>	sin(theta)=Det('a','A'('a'),'W'),"=",st;

>	theta=4*Pi/3;

Cherchons Omega tel que Omegaf(Omega) soit colinéaire à W

>	Omega:=[x,y,z];OmfOm:=evalm(f-Omega):

>	pv:=crossprod(OmfOm,W):

>	produit_vectoriel(Omegaf('Omega'),'W')=simplify(evalm(pv)),"=",[0,0,0];

>	Gsyst(matrix(3,3,[[1,0,-1],[1,1,0],[0,1,1]]),[x,y,z],[2,3,1]);

Donc ceci convient

>	x:=2:y:=1:z:=0:'Omega'=Omega;

Ainsi le vecteur de translation est

>	Omegaf('Omega')=[u,v,w]-Omega;

f est donc la composée t*s*r du

>	r est le rotation d'axe [2,1,0] + R[-1,1,-1]  autour  [-1,1,-1] d'angle -4*Pi/3

    s est la symétrie centrale de centre [2,1,0]

   t est la translation de vecteur [-1,1,-1]

question b)

>	x:='x':y:='y':z:='z':

>

u:=-z+1:

>

v:=-x:

>

w:=y-2:

>	f:=vector([u,v,w]):'f'(x,y,z)=evalm(f);

>

Etude de la partie linéaire

>	B:=matrix(3,3,[[0,0,-1],[-1,0,0],[0,1,0]]);

B est une matrice orthogonale

>	tBB:=evalm(transpose(B)&*B);

B n'est pas dans le groupe spécial orthogonal

>	det_B=det(B);

Calculons Inv(B)

X:=[x,y,z] est dans inv(B) ssi il est solution du système BX=X

>

>	Gsyst(B-tBB,[x,y,z],[0,0,0]);

B est la matrice de la rotation autour de

>	W:=1/sqrt(3)*vector([-1,1,1]);Wv:=transpose(matrix(1,3,[evalm(W)])):A:=evalm(B):

Calculons l'angle theta de la rotation

le vecteur a ci-dessous est unitaire et orthogonal à W

>	a:=1/sqrt(2)*[1,1,0];av:=transpose(matrix(1,3,[evalm(a)])):

>	ct:=evalm(transpose(av)&*A&*av):

>	cos(theta)=('a','A'('a')),"=",op(ct);Aa:=[seq(evalm(A&*av)[i,1],i=1..3)]:

>	st:=det(matrix(3,3,[evalm(a),evalm(Aa),evalm(W)])):

>	sin(theta)=Det('a','A'('a'),'W'),"=",st;

>	theta=4*Pi/3;

Cherchons Omega tel que Omegaf(Omega) soit colinéaire à W

>	Omega:=[x,y,z];OmfOm:=evalm(f-Omega):

>	pv:=crossprod(OmfOm,W):

>	produit_vectoriel(Omegaf('Omega'),'W')=simplify(evalm(pv)),"=",[0,0,0];

>	Gsyst(matrix(3,3,[[-1,-2,1],[1,-1,2],[-2,-1,-1]]),[x,y,z],[-2,-1,-1]);

Donc ceci convient

>	x:=0:y:=1:z:=0:'Omega'=Omega;

Ainsi le vecteur de translation est

>	Omegaf('Omega')=[u,v,w]-Omega;

>

Or Omegaf(Omega) et W sont de sens oppposé comme le prouve le produit scalaire

>	produit_scalaire=innerprod([u,v,w]-Omega,W);

f est donc le vissage d'axe [0,1,0] + R[1,-,1,-1] de vecteur [1,-1,-1] d'angle -4*Pi/3

question c)

>	x:='x':y:='y':z:='z':

>

u:=z+1:

>

v:=x:

>

w:=y-2:

>	f:=vector([u,v,w]):'f'(x,y,z)=evalm(f);

>

Etude de la partie linéaire

>	B:=matrix(3,3,[[0,0,1],[1,0,0],[0,1,0]]);

B est une matrice orthogonale

>	tBB:=evalm(transpose(B)&*B);

B n'est pas dans le groupe spécial orthogonal

>	det_B=det(B);

>

Calculons Inv(B)

X:=[x,y,z] est dans inv(B) ssi il est solution du système BX=X

>

>	Gsyst(B-tBB,[x,y,z],[0,0,0]);

B est la matrice de la rotation autour de

>	W:=1/sqrt(3)*vector([1,1,1]);Wv:=transpose(matrix(1,3,[evalm(W)])):A:=evalm(B):

Calculons l'angle theta de la rotation

le vecteur a ci-dessous est unitaire et orthogonal à W

>	a:=1/sqrt(2)*[1,-1,0];av:=transpose(matrix(1,3,[evalm(a)])):

>	ct:=evalm(transpose(av)&*A&*av):

>	cos(theta)=('a','A'('a')),"=",op(ct);Aa:=[seq(evalm(A&*av)[i,1],i=1..3)]:

>	st:=det(matrix(3,3,[evalm(a),evalm(Aa),evalm(W)])):

>	sin(theta)=Det('a','A'('a'),'W'),"=",st;

>	theta=2*Pi/3;

Cherchons Omega tel que Omegaf(Omega) soit colinéaire à W

>	Omega:=[x,y,z];OmfOm:=evalm(f-Omega):

>	pv:=crossprod(OmfOm,W):

>	produit_vectoriel(Omegaf('Omega'),'W')=simplify(evalm(pv)),"=",[0,0,0];

>	Gsyst(matrix(3,3,[[1,-2,1],[1,1,-2],[-2,1,1]]),[x,y,z],[-2,3,-1]);

Donc ceci convient

>	x:=4/3:y:=5/3:z:=0:'Omega'=Omega;

Ainsi le vecteur de translation est

>	Omegaf('Omega')=[u,v,w]-Omega;

>

Or Omegaf(Omega) et W sont de sens oppposé comme le prouve le produit scalaire

>	produit_scalaire=innerprod([u,v,w]-Omega,W);

f est donc le vissage d'axe [4/3,5/3,0] + R[1,,1,1] de vecteur (1/3)*[-1,-1,-1] d'angle -2*Pi/3

>

>