>	restart;with(plots):with(plottools):with(linalg);

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>

Exercice 10

question b)

>	f:=(x,y)->piecewise(y>=0,exp(x),y<0,exp(x)*cos(y));

>	plot3d(f(x,y),x=-3..1,y=-3..1,axes=normal);

>	F:=proc(t)  plot(f(x,tan(t)*x),x=-3..3); end:

>	animate(F,[t],t=-1.5..1.5, axes=normal,frames=41);

Continiuté en (x,0)

>	Limit('f'(x,y),y=0)=limit(f(x,y), y=0);

Première dérivée en en (x,0)

>

>	D_1(f)(x,0),"=",Limit(('f'(x+h,0)-'f'(x,0))/h,h=0)=limit((f(x+h,0)-f(x,0))/h,h=0);

En effet

>	Limit(('f'(x+h,0)-'f'(x,0))/h,h=0,right)=limit((f(x+h,0)-f(x,0))/h,h=0,right);Limit(('f'(x+h,0)-'f'(x,0))/h,h=0,left)=limit((f(x+h,0)-f(x,0))/h,h=0,left);

Exemple en (1,0) dans la direction (Ox)

>	plot(f(1+t*1,0),t=-1..1);

>

Deuxième dérivée en en (x,0)

>

>	D_2(f)(x,0),"=",Limit(('f'(x,h)-'f'(x,0))/h,h=0)=limit((f(x,h)-f(x,0))/h,h=0);

En effet

>	Limit(('f'(x,h)-'f'(x,0))/h,h=0,right)=limit((f(x,h)-f(x,0))/h,h=0,right);Limit(('f'(x,h)-'f'(x,0))/h,h=0,left)=limit((f(x,h)-f(x,0))/h,h=0,left);

Exemple en (1,0) dans la direction (Oy)

>	plot(f(1,t*1),t=-1..1);

question c)

>	f:=(x,y)->piecewise(x=0 and y=0,0,x<>0 or y<>0,(x^3+y^3)/(x^2+y^2));

>	plot3d(f(x,y),x=-3..3,y=-3..3,axes=normal);

>	F:=proc(t)  plot(f(x,tan(t)*x),x=-3..3); end:

>	animate(F,[t],t=-1.5..1.5, axes=normal,frames=41);

Continiuté en (0,0)

>	Limit('f'(x,y),{x=0,y=0})=limit(f(x,y), {x=0,y=0});

Première dérivée en en (0,0)

>

>	D_1(f)(0,0),"=",Limit(('f'(0+h,0)-'f'(x,0))/h,h=0)=limit((f(0+h,0)-f(0,0))/h,h=0);

En effet en (0,0) dans la direction (Ox)

>	plot(f(0+t*1,0),t=-1..1);

>

Deuxième dérivée en en (0,0)

>

>	D_2(f)(0,0),"=",Limit(('f'(0,h)-'f'(0,0))/h,h=0)=limit((f(0,h)-f(0,0))/h,h=0);

En effet (0,0) dans la direction (Oy)

>	plot(f(0,t*1),t=-1..1);

question d)

>	f:=(x,y)->piecewise((y^2>=x^2),x^2,(y^2<x^2),y^2);

>	plot3d(f(x,y),x=-5..5,y=-5..5,axes=normal);

>	F:=proc(t)  plot(f(x,tan(t)*x),x=-3..3); end:

>	animate(F,[t],t=-1.5..1.5, axes=normal,frames=41);

Continiuté en (x,0)

>	Limit('f'(x,y),{x=0,y=0})=limit(f(x,y), {x=0,y=0});

Première dérivée en en (x,x)

>

>	D_1(f)(x,x),"=",Limit(('f'(x+h,x)-'f'(x,x))/h,h=0)=limit((f(x+h,x)-f(x,x))/h,h=0);

Or

>	droite:=limit((f(x+h,x)-f(x,x))/h,h=0,right):gauche:=limit((f(x+h,x)-f(x,x))/h,h=0,left):

>	Limit(('f'(x+h,x)-'f'(x,x))/h,h=0,right)=droite;plot(droite,x=-1..1,-1..0.5);

>

>	Limit(('f'(x+h,x)-'f'(x,x))/h,h=0,left)=gauche;;plot(gauche,x=-1..1,-0.5..1);

Exemple en (1,1) dans la direction (Ox)

>	plot(f(1+t*1,1),t=-1..1);

Il n'y a donc pas de première dérivée en (x,x) sauf en (0,0)

>

Deuxième dérivée en en (x,x)

>

>	D_2(f)(x,x),"=",Limit(('f'(x,x+h)-'f'(x,x))/h,h=0)=limit((f(x,x+h)-f(x,x))/h,h=0);

>

Or

>	droite:=limit((f(x,x+h)-f(x,x))/h,h=0,right):gauche:=limit((f(x,x+h)-f(x,x))/h,h=0,left):

>	Limit(('f'(x,x+h)-'f'(x,x))/h,h=0,right)=droite;plot(droite,x=-1..1,-1..0.5);

>

>	Limit(('f'(x,x+h)-'f'(x,x))/h,h=0,left)=gauche;;plot(gauche,x=-1..1,-0.5..1);

Exemple en (1,1) dans la direction (Oy)

>	plot(f(1,1+t*1),t=-1..1);

Il n'y a donc pas de seconde dérivée en (x,x) sauf en (0,0)

>

Première dérivée en en (x,-x)

>

>	D_1(f)(x,-x),"=",Limit(('f'(x+h,-x)-'f'(x,-x))/h,h=0)=limit((f(x+h,-x)-f(x,-x))/h,h=0);

Or

>	droite:=limit((f(x+h,-x)-f(x,-x))/h,h=0,right):gauche:=limit((f(x+h,-x)-f(x,-x))/h,h=0,left):

>	Limit(('f'(x+h,-x)-'f'(x,-x))/h,h=0,right)=droite;plot(droite,x=-1..1,-1..0.5);

>

>	Limit(('f'(x+h,-x)-'f'(x,-x))/h,h=0,left)=gauche;;plot(gauche,x=-1..1,-0.5..1);

Exemple en (1,-1) dans la direction (Ox)

>	plot(f(1+t*1,-1),t=-1..1);

Il n'y a donc pas de première dérivée en (x,-x) sauf en (0,0)

>

Deuxième dérivée en en (x,-x)

>

>	D_2(f)(x,-x),"=",Limit(('f'(x,-x+h)-'f'(x,-x))/h,h=0)=limit((f(x,-x+h)-f(x,-x))/h,h=0);

>

Or

>	droite:=limit((f(x,-x+h)-f(x,-x))/h,h=0,right):gauche:=limit((f(x,-x+h)-f(x,-x))/h,h=0,left):

>	Limit(('f'(x,-x+h)-'f'(x,-x))/h,h=0,right)=droite;plot(droite,x=-1..1,-1..0.5);

>

>	Limit(('f'(x,-x+h)-'f'(x,-x))/h,h=0,left)=gauche;;plot(gauche,x=-1..1,-0.5..1);

Exemple en (1-,1) dans la direction (Oy)

>	plot(f(1,-1+t*1),t=-1..1);

Il n'y a donc pas de seconde dérivée en (x,-x) sauf en (0,0)

>

>

>