>	restart;with(plots):with(plottools):with(linalg);

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>

Exercice 5

question d)

>	f:=(x,y)->piecewise(x=0 and y=0, 0,(x*sin(y)-y*sin(x))/(x^2+y^2));

>	sin(t)=series(sin(t),t=0,3);

>	donc sin(t)=t+t^2*epsilon(t);

>	avec Limit(epsilon(t),t=0)=0;

>	et donc 'f'(x,y)=expand((x*(y+y^2*epsilon(y))-y*(x+x^2*epsilon(x)))/(x^2+y^2));

>	Or abs(xy^2/(x^2+y^2)) <= abs(x);

Donc par le thérorème des gendarmes

>	Limit( x*y^2*epsilon(y)/(x^2+y^2),[x,y]=0)=0;

D'où f est continue en (0,0) et de facon claire en tout autre point

>	plot3d(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1,axes=normal);

>	Voici le profil de la section obtenu par une droite passant par l'origine et tournant au cours du temps

>	profil_x:=theta->cos(theta)*t;profil_y:=theta->sin(theta)*t;t:='t':

>	sect:=theta->cos(theta)*x+y*sin(theta);

>	profil_courbe(f,profil_x,profil_y,[-5,5],[-Pi,Pi],0);

Le même profil vu sur un plan fixe (courbe du paramétrage)

>	F:=proc(theta)  plot(f(profil_x(theta),profil_y(theta)),t=-5..5 ); end:

>	animate(F,[theta],theta=-Pi..Pi, axes=normal,frames=41);

Voici les courpes obtenues par les sections correspondantes à ces droites tournantes

>	profil_section(f,[-5,5],[-5,5],sect,[-Pi,Pi],-10);

>