>	restart;with(plots):with(plottools):with(linalg);

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>

Exercice 8

>	f:=(x,y)->piecewise(y=0,0,x^2/y);

>	plot3d(f(x,y),x=-3..3,y=-3..3,axes=normal);

Voici le profil de la section obtenu par une droite passant par l'origine et tournant au cours du temps

>	profil_x:=theta->cos(theta)*t;profil_y:=theta->sin(theta)*t;t:='t':

>	sect:=theta->cos(theta)*x+y*sin(theta);

>	profil_courbe(f,profil_x,profil_y,[-5,5],[-Pi,Pi],0);

>

Le même profil vu sur un plan fixe (courbe du paramétrage)

>	F:=proc(theta)  plot(f(profil_x(theta),profil_y(theta)),t=-5..5,-10..10 ); end:

>	animate(F,[theta],theta=-Pi..Pi, axes=normal,frames=41);

Voici les courpes obtenues par les sections correspondantes à ces droites tournantes

>	profil_section(f,[-0.5,0.5],[-5,5],sect,[-Pi,Pi],-10);

Ainsi f n'est pas continue en (0,0) comme nous le montre le profil se lon y=x^2 qui ne passe pas par la valeur f(0,0)=0

>	coupe(f,[-0.5,0.5],[-5,5],[t,t^2],[-0.7,0.7],x-y,-1,100);

>	'f'(x,x^2)=f(x,x^2);

>	Limit('f'(x,x^2), x=0)=limit(f(x,x^2),x=0);

Or f(0,0)=0, donc f n'est pas continue en (0,0)

>

>	'f'(t*h1,t*h2)=simplify(f(t*h1,t*h2));

>	Limit('f'(t*h1,t*h2)/t,t=0)=limit(f(t*h1,t*h2)/t,t=0);

Donc  f admet des dérivées dans toutes les directions (h1,h2) avec h2<>0

>	'f'(t*h1,0)=1;

>	Donc  f admet aussi des dérivées dans toutes les directions (h1,0)