>	restart;with(linalg);

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>

>

>	Evaluation 6

>

question a)

>	P:=matrix(3,3,[[2,4,3],[0,1,1],[2,2,-1]]);

Pour calculer l'inverse on étudie le sytème associé

>	Gsyst_cramer(P,[x1,x2,x3],[y1,y2,y3]);

On en déduit l'inverse de P

>	inv_P:=inverse(P);

Autre méthode: on mène en paraallèle le pivot de Gauss partant de P et de I_3

>	Ginverse(P);

>	question b)

>	la matrice de phi dans la base canonique est

>	M:=matrix(3,3,[[2,1,1],[3,0,-1],[-1,1,1]]);

la matrice de passage Q de l'ancienne à la nouvelle base est la transposée de P (voir question a))

>	Q:=transpose(P);

on en déduit l'inverse de Q, comme étant la transposée de l'inverse de P

>	inv_Q:=transpose(inv_P);

D'où la matrice M_prime dans la nouvelle base

>	M_prime:=evalm(inv_Q&*M&*Q);

>	question c)

>	u:=vector([1,1,1]);

>

a:=Pi/3;

>	n:=vector([1,-1,1]);

>	n_normé:=evalm(n/sqrt(3));

on note u_n le projeté orthogonal de u sur Vect(n)

>	u_n:=evalm(innerprod(u,n_normé)*n_normé);

>

>	on note u_p le projeté orthogonal de u sur  l'orthogonal de Vect(n)

>	u_p:=evalm(u-u_n);

la rotation de u_p donne v_p= cos(a) u_p+ sin(a)( n_normé vectoriel u_p)

>	v_p:=evalm(cos(a)*u_p+ sin(a)*crossprod( n_normé,u_p));

Enfin puisque u_n est invariant par rotation:

>	Rot(u)=evalm(v_p+u_n);

>	question d)

>	S:=matrix(3,3,[[16,4,4],[-4,17,-1],[4,1,1]]);a:='a':

>	Gsyst(S,[x,y,z],[0,a^2,a+a^2]);

On en déduit, pas de solutions si a est different de 0 ou -1

Si a=1

>	S_1= vector([-1/72,1/18,0])+R*vector([-1/4,0,1]);

Si a=0

>	S_0= R*vector([-1/4,0,1]);

>	question e)

>	A:=-1/9*matrix([[7,4,4],[-4,8,-1],[4,1,-8]]);

A est orthognale car t(A)A=I_3

>	tAA:=evalm(transpose(A)&*A);

A est dans SO(3) car son déterminant vaut

>	determinant_A:=det(A);

On calcule l'ensemble des invariants en étudiant le systeme AX=X où X est le vecteur colonne [x,y,z] des coordonnée d'un vecteur de R3

>	Gsyst(A-matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]),[x,y,z],[0,0,0]);

On retrouve comme calculé dans la question précédente,

>	Inv_A=R*k;k:=evalm(vector([1,0,-4])/sqrt(17));

Il s'agit d'une rotation autour de k

on choisit a unitaire, orthogonal à k, par exemple

>	a:=vector([0,1,0]);

on a normalisé le vecteur k ce qui nous permet de caractériser l'angle t de la rotation

>	cosinus:=innerprod(a,A&*a);

>	sinus:=innerprod(crossprod(a,A&*a),k);

>